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时间:2020-07-03 06:18  编辑:浏阳幼儿园

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承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): A

我们的报名参赛队号为(8位数字组成的编号):23092009

所属学校(请填写完整的全名):成都文理学院

参赛队员(打印并签名) :1. 蔡芳

2. 李化

3. 龙籽丹

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):吴建国

(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。如填写错误,论文可能被取消评奖资格。)

日期: 2014 年 09 月 15 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

编号专用页

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射,12月6日抵达月球轨道并且成功实现了软着陆。

针对问题一:嫦娥三号的着陆点为(19.51︒W,44.12︒N),本文利用MATLAB软件在2400米的粗避障图片上面找到100米精避障阶段的坐标(1092,1132)。求出嫦娥三号粗避障在月面的投影与其精避障在月面的投影距离为60.73m。根据能量守恒定律,建立动力学模型,求得近月点速度v m1为1.692km/s,远月点速度v m2为 1.613km/s。在主减速阶段,由动能定理求出近月点水平位移s EG为4.551km。根据一元二次函数轨迹求得快速调整段嫦娥三号的水平位移s AN为4.555km。通过以上数据,结合空间几何可以描述近月点的位置为着陆点以西2307.865m,以北3997.3m,距月面15km,方向为平行于月平面且与经线的夹角为60︒。因此远月点方向与近月点方向相反且平行,远月点位置在着陆点与月心的连线交另一月面点以东2307.865m,以南3997.3m,距月表面100km。

针对问题二,为了确定嫦娥三号着陆轨道,减少有限推力作用下软着陆所需的燃料消耗,本文对嫦娥三号软着陆过程的6个阶段逐个进行分析,并引入一种函数变换结合非线性规划的方法和极大值原理来求解该问题。首先, 从庞德里亚金极大值原理出发, 将有限推力作用下月球软着陆问题转化为数学上的两点边值问题; 在考虑边界条件及横截条件的前提下, 将该两点边值问题转化为针对共轭变量初值和末时刻的优化问题; 然后应用非线性规划方法求解所形成的参数优化问题。为了降低共轭变量初值选取的敏感性, 引入共轭变量与控制变量之间的变换, 用控制变量初值代替了共轭变量初值。实验仿真结果显示, 本文法能够成功实现月面软着陆, 得到了嫦娥三号的软着陆最优轨

道,并求出嫦娥三号最终的燃料消耗值为1812 kg和最终着陆时间为t f=720.3s,比传

统的打靶法减少了2.74%的燃料消耗。

针对问题三,运用MATLAB中的sumlink仿真模块对问题二本文所建立的轨道控制进行仿真模拟。可得到速度、位置、推力方位角等参数随时间的变化曲线。减速阶段的作用力越大,软着陆的时间就会越少,飞行时间的不同会导致最终下降的着陆点不同。但这只会导致纬度的不同,而经度不受影响。而且在整个下降过程中嫦娥三号所处的经度都没有变化。发动机比冲偏差为±10%,标准比冲为300,最小比冲为270,最大比冲为330。比冲偏差对着陆过程的影响要小于推力偏差的影响。嫦娥三号减速后的经纬度会受到初始速度方向的影响。其中,z轴速度分量对经度的影响很大,而纬度只受x轴方向速度分量影响。

关键词:动力学模型 MATLAB软件庞德里亚金极大值原理非线性规划sumlink仿真

一.问题的重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射,12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t,其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力,其比冲(即单位质量的推进剂产生的推力)为2940m/s,可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机,在给定主减速发动机的推力方向后,能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W,44.12N,海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下,要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆,关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求:着陆准备轨道为近月点15km,远月点100km的椭圆形轨道;着陆轨道为从近月点至着陆点,其软着陆过程共分为6个阶段,要求满足每个阶段在关键点所处的状态;尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求,请你们建立数学模型解决下面的问题:

(1)确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置,以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

(2)确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

(3)对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二.问题分析

针对问题一:此文要求得到近月点和远月点的速度大小和方向,以及两点的位置。首先我们运动物理学上的能量守能定理可以分别得到近月点和远月点关于一些已知量的速度表达式,从而计算出两点的速度大小,接着对嫦娥三号的着陆轨道的六个阶段进行仔细分析,分别从三维空间和二位空间坐标系去研究,求出嫦娥三号着陆轨道在月球上的投影距离,通过运用物理学知识求解出节约点到2400米时着陆轨迹在月球上投影的距离,在2400m到100m阶段上,嫦娥三号进行粗避障,则可以由在两点得到的图形中心位置的距离求出这个阶段到月球上的投影距离,运用matlab求出两图中中心点的距离,求得着陆轨道在月球上的投影距离总长度,由着陆轨道与月球上经纬度夹角θ可以计算出近月点的位置和方向,最后通过近月点和远月点的关系,求出远月点的方向和位置。

针对问题二:在第一问中给出了准备着陆点和准备轨道,要求我们求出近月点位置和远月点位置,而第二问是针对确定近月点位置求出着陆轨道和着陆点的最优控制策略。第二问主要探讨在着陆轨道的确定,着陆位置的确定以及什么情况下是控制最优策略,确定出着陆轨道。本文针对月球探测器软着陆的实际问题, 利用极大值原理, 基于燃耗最优的原则, 设计了软着陆最优控制律, 将求取最优控制律的问题转化为两点边值问题。在数值计算中, 引入一种函数变换结合非线性规划的方法, 得到了探测器软着陆的最优轨线, 并给出了最终的燃料消耗值。与传统的打靶法比较, 本文方法在一定程度上降低了共轭方程组对共轭变量初值选取的依赖性。计算机数值计算仿真结果说明, 该方法简单、实用并且易于工程实现, 同时在降低耗燃上优于传统的打靶法。

针对问题三:本问运用MATLAB中的sumlink仿真模块对问题二本文所建立的轨道控制进行仿真模拟。减速阶

段的作用力越大,软着陆的时间久会越少,飞行时间的不同会导致最终下降的目的地不同。然后通过调节发动机推力、比冲、初始速度方向偏差等因素比对着陆下降过程所产生影响。

三.模型假设

1.不考虑月球的自转速度,只考虑相对速度;

2.月球引力场均匀;

3.题中已知的数据真实可靠;

4.不计阻力损耗情况;

四.符号说明

五.模型的建立与求解

5.1 问题一的模型建立与求解

5.1.1确定近月点和远月点的速度

嫦娥三号在进入椭圆轨道后,处于月球的保护场中,考虑到月球表面没有大气,所以在不计阻力损耗情况下,嫦娥三号的总能量是守恒的,可以建立一个嫦娥三号轨道的能量平衡式。

嫦娥三号位置的势能为−m GM

r ,卫星具有的动能为1

2

mv2,则嫦娥三号的总能量为:

E=1

2

mv2−m

GM

总能量在轨道上的任何一点都是相同的。则嫦娥三号的近月点和远月点的总能量分别为

E

近=1

2

mv12−m GM

r1

(1)

E

远=1

2

mv22−m GM

r2

(2)

其中,GM为月球常数,GM= R2,1为近月点月心距,2为远月点月心距,v1为近月点速度,v2为远月点速度。

由于E

近=E

,有:

1

2

mv12−m

GM

1

=

1

2

mv22−m

GM

2

即:

1 2mv12−m GM

r1

=1

2

mv22−m GM

r2

(3)

由于普勒定律可知,近月点和远月点速度之比等于其月心距的反比,即

v2=1

2

v1

代入式(3),有:

1

v12−GM

1

=

1

(1

2

)

2

∙v12−

GM

2

整理后,得:

1 2v12∙1

+2

2

=

GM

1

令r2

r1+r2

=k ,有:

1 2v12=k GM

r1

(4)

称上式为能量平衡式,它表示在近月点动能等于其势能的k倍。若令k′=r1

r1+r2

,则有:

1 2v22=k′GM

r2

(5)

“嫦娥”三号成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道,这是“落月”前最后一次轨道调整。卫星近月点高度为15km、远月点高100km。下面按初始条件应用能量平衡式计算速度。

M m=7.3477×1022 kg

M e=5.98×1024 kg

f

=1737.013 km

由 M e=398866km ,则

m =

GM e

M e

M m=GM e

M m

M e

=4900.9159km3/s24901km3/s2

即 :

{ m1= f +15=1752.013 m2= f +100=1837.013

k = m2

m1+ m2

=0.51184 0.512

式中, m1为近月点月心距, m2为远月点月心距。 利用能量平衡式,

v m1=(2×0.512× 4 1

1 52. 13)1=1.69

2 km/s

v m2=r

1r 2

v m1=1.613 km/s

式中,v m1为近月点速度,v m2为远月点速度。 变轨后,近月点速度为

v m1=1.692 km/s

远月点速度为

v m2=1.613 km/s

5.1.2嫦娥三号六个阶段分析

由上述方法得到了近月点和远月点的速度,接着求近月点的方向和位置.首先画出三维立体图,坐标原点为月面上嫦娥三号着陆点P 附近某一点,如图所示:

图5.1.1

x ,y 轴是月面的二维图,z 轴表示在垂直于月面向上的方向,嫦娥三号以MR 的弧形方向落在P 点,先后经过六个过程,作出近月点M 在月球上的投影位置C ,得到一条投影线PC ,作垂直于PC 的垂直线MC ,通过对六个阶段分别进行分析,最后求出近月点的方向和位置。

在三维立体图(一)的基础上,为了更明确的研究六个阶段,做出了关于嫦娥三号着陆轨道的二维图形,以近月点的投影点C 作为坐标原点,x 轴为投影线,y 轴为垂直线MC 。

图5.1.2

第一阶段:主减速阶段

题中给出发动机的推力是有关于比冲v e 和单位时间燃料消耗的公斤数m ,则考虑嫦娥三号的质量在每个时刻是不一样的。x 轴为近月点投影的垂直方向,y 轴为嫦娥三号降落到三千米的平行于地面的方向,则 E =15000−3000=12000米,由题中可知,嫦娥三号在M 点的速度V M 为1.7km/s ,在三千米E 点的速度V E 降为57m/s ,则可以求出s EG :

m M ℎMC −m E ℎEC +F t rust s EG =1

2m M V M 2−1

2m E V E 2 (1)

m M ,m E 分别为在M 点和E 点的质量,ℎMC ,ℎEC 分别为M 和E 点到近月点的投影点的距离。

由题中给出,比冲是对一个推进系统的燃烧效率的描述,定义为:火箭发动机单位质量推进剂产生的冲量,或单位流量的推进剂产生的推力。关系如下:

F t rust =v e m

按照题中要求尽量减少软着陆过程的燃料消耗,取性能指标为:

J =m (0)−m (t )=−∫m t

dt =−v e

−1

∫F t rust t

dt

J 表示燃料的消耗量,m (0)为在M 点有多少燃料,m (t )为在E 点有多少燃料。

在题中给出v e 为2940m/s 恒定不变时,由上式可以看出当使得J 最小的时候,要使得F t rust 的值最大,给出可调节推力范围为1500N~7500N ,则F t rust 值在取得7500N 时符合题意。

在F t rust =7500N 的条件下,代入比冲公式中,求出m =2.55kg/s 。通过附录一中的网站了解到嫦娥三号从近月点到达三千米处一共花了8分钟,即使480s ,则质量改变量为480m =1224kg ,通过文献[]了解到嫦娥三号达到月球的质量在1.2t 左右,则证明该结论嫦娥三号在到达三千米时质量为1176kg 没有较大误差。

嫦娥三号在离月球15km 时进行软着陆,而月球的平均半径为1737km ,则15km 就太小了,则使用月球表面的重力加速度g 为地球表面的重力加速度16⁄倍,把上诉的结果代入(1)式,计算出s EG =4.551km 。

第二阶段:快速调整段

在此阶段上没有特别明显的变化,主要是嫦娥三号在调整姿态。作出坐标原点在近月点的垂直线与2400m 处的交点(见下图)。则可以得出M 的坐标为(0,12600),G 点的坐标为(s EG ,600)以及N 点的坐标为(s AN ,0)。

图5.1.3

有三点在一条一元二次函数的轨迹上,设该轨迹满足方程式为:y =ax 2+bx +c ,由于a 值不为0,则可将方程式变形为:

f=x2+kx+n

其中f=y

a ,k=b

a

,n=c

a

,则把三点的坐标代入变形后的最终方程,得到如下:

{

1.26=0+n

0=s AN2+ks AN+n

0.6=s EG2+ks EG+n

上个阶段求出s EG=4.551,则可以求出k=−4.7,s AN=4.555km

第三个阶段为粗避障阶段

在此阶段上,嫦娥三号基本已到达着陆点上空,由于不清楚月球表面的地形情况,则在2400m处对月球进行拍照,分析星下光学敏感成像图片,启动姿态调整发动机,粗布避开大陨石坑。(由于三四阶段的原理一样,则在四阶段进行详细讨论)

第四个阶段为精避障阶段

到达100m处时,嫦娥三号悬停与目标上方,对星下月面进行二维和三维成像,分析高分辨率三维成像,启动姿态发动机,精细避开月面障碍物。

结合三四阶段,在2400m处在虹湾着陆区寻找一个大致的位置,在到达100m的过程中,不断成像,一步步避开障碍物,使其到达最合适位置。嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置,则在第三阶段求出2400m处的图像的中心位置到100m 处的图像的中心位置的距离,在第四阶段求出100m处图像的中心位置到着陆点的距离,则可以推导出经纬度。

通过运用matlab编程(程序见附录),分别得到100m处和2400m处的三维地形图,如下所示:

图5.1.4 100m处图5.1.5 2400m处由上面两个图可以大概了解到着陆点的地势情况,首先要找出100m拍的照片在2400m拍的照片的什么位置。

通过matlab编程找出100m拍的照片在2400m拍的照片的位置(程序见附录),结果图如下:

图5.1.6 图5.1.7 由图5.1.6中可以知道红点区域是嫦娥三号在100m处精确避障的位置,由图5.1.7是对2400m粗避障阶段的红点放大数倍的图片。从该图可以知道有14个点可以作为嫦娥三号可能的着陆点,在图六中建立一个以的左下角为原点的二维坐标,则可以得到粗避障阶段拍照位置的坐标为(1150,1150)。考虑到嫦娥三号燃料尽量少的前提条件,则嫦娥三号会选择离图六中心点最近的位置。则代入以下距离公式求出最近的一个点:

r=√22

得到左上角距离图六中心点最短的位置为(1042,1182),则可以求出图七中心点位置为(1092 1132),运用上述距离公式,求出2400米嫦娥三号在月面的投影与着陆点的距离为60.7289m.

第五阶段为缓慢下降阶段

发动机推力方向向下,缓速下降。在经过精避障阶段后位置已经比较精确,这是最主要是降落下去,所以速度会越来越慢。

第六阶段为自由落体阶段

发动机在离地面4m处就悬停于目标上方并关闭发动机,后面的距离在由于月球的引力的作用下作自由落体运动,以很小的速度落到月球表面。

5.1.3确定近月点的方向和位置

近月点的着陆轨迹上每点在月球上的投影可以得到图一中的CP,其一在距离月球的距离为100m后的变动幅度不大,其二在此处得到的图片是100m*100m,在经纬度上来看100m的距离很小,由于我们计算的位置用经纬度表示,则不再考虑100m后的位置变动。经纬度的确定分两个阶段,第一阶段就是2400m以上的阶段,在上述计算的过程中我们已经求得s AN=4.555km,则s HC=s AN=4.555km,第二阶段就是100m到2400m的阶段,在嫦娥三号的粗避障阶段我们求得两张图片的中心点的距离,则得出s PH=60.73m 。

即:s PC=s PH+s HC=4615.73m

则在近月点的着陆轨迹在月球地面上的投影为PC,在地面上的图形如下:

图5.1.8

设嫦娥三号着陆轨道的投影与经度的夹角θ,θ是一个变动区域,则可用一个具有代表的数据进行计算,即使数据不同,但也是使用同样的理论依据,在运用一个特殊值,根据2013年中国航空航天飞控中心的嫦娥三号的测控数据显示,嫦娥三号在月球椭圆

轨道与月球经度的夹角θ=60°,可以求出s cf和s pf。

{s cf=s PC cosθs pf=s PC sinθ

则s cf=2307.865m,s pf=3997.33944m。

则近月点的位置为在距离月球表面15km的高空,在月球上的投影位置为距离着陆点19.51︒W, 44.12︒N以西2307.865m,以北3997.3m,则方向为平行于月球表面,与月球的经度呈60°角。

5.1.4确定远月点的方向和位置

上述问题中求出近月点的位置和方向,则依靠这些数据能够求出远月点的位置方向,近月点和远月点的关系图如下:

图5.1.9

根据图中,可以看出,近月点和远月点的方向相反,经度相差180°,纬度的关系为一个在南纬一个在北纬。则可以得到远月点的方向和位置如下:

在距离月球表面100km的高空,在月球上的投影位置19.51E, 44.12S以东2307.865m,以南3997.3m,则方向为与近月点相反且平行于月球表面,与月球的经度呈60°角。

5.2 问题二的模型建立与求解

5.2.1 对问题进行分析

在第一问中给出了准备着陆点和准备轨道,要求我们求出近月点位置和远月点位置,而第二问是针对确定近月点位置求出着陆轨道和着陆点的最优控制策略。

第二问主要探讨在着陆轨道的确定,着陆位置的确定以及什么情况下是控制最优策略,首先确定出着陆轨道,接着进行最优控制,最后找出着陆点。画出嫦娥三号的着陆过程如下所示:

图5.2.1

嫦娥三号主要分六个阶段,前三个阶段主要是反推火箭制动减速,消除嫦娥三号较大的水平初速度,调整姿态为垂直向下,并使用其在到达预定高度时速度接近于0;悬停避障段主要是根据图像敏感期对着陆区的成像选择安全着陆点;最后一个阶段探测器继续缓慢下降,保证其在离月球表面还有约4m时速度为零,进而关闭发动机,以自由落体方式撞击月球表面着陆。

嫦娥三号软着陆的六个阶段,本文将嫦娥三号这六个过程分为四个任务阶段:接近段,悬停段,避障段和缓速下降段。这四个任务阶段分别是来实现粗避障,高精度成像,高精度避障和着陆位置保持。如图所示:

图5.2.2

1接近段飞行程序

嫦娥三号接近段AB飞行时,飞行轨迹为满足特定姿态和下降轨迹要求的接近目标着陆点轨迹。考虑到7500N主发动带来的不可见区域为半椎角约为25度,为了保证在接近段成像敏感器视角能够观测到着陆区,确定采用下降轨迹接近与水平面夹角45度的直线下降逐步接近着陆区。接近段需要保证光学成像敏感器能够对陆区成像并完成粗避障,因此接近段制导必须满足制导目标的位置、速度、姿态以及初始高度和速度等多项约束。为了能够满足上述诸多约束条件,基于四次多项式制导律,我们在接近段提出一种改进的多项式制导算法。

为了实现粗避障轨迹接近与水平面夹角45度的直线下降方式,嫦娥三号的合加速度和速度方向必须相反,因此,推力、月球的引力加速度和速度需要满足一定的几何关系,如图所示,图中x 表示从月心指向着陆器(径向),z 表示为航向(速度方向)。

图5.2.3

经过推导,推力加速度的大小a F 和月球引力加速度大小 m 存在如下关系:

a F = m

cosa −tanβsina

式中,a 为推力方向与引力方向夹角;β为速度方向和水平方向的夹角。 于是,合加速度在径向和航向的分量分别为:

a x =a F cosa − m , a z =−a F sina

如果保持径向和航向的加速度不变,则可确定下降高度和航程为

s x =

v xf 2−v x0

22a x

,s z =

v zf 2−v z0

22a z

式中,v xf 和v zf 分别为接近段终端的径向和航向速度,v x 和v z 分别为接近段入口的径向和航向速度。于是接近段的时间为:T a =(v xf −v x )/a x

由于采用下降轨迹接近与水平面夹角45度的直线下降方式,因此,β=45度.综合考

虑推力大小,月球引力加速度和速度等约束以及接近段入口高度条件,就可以计算出接近段入口速度和全程加速度等约束。制导位置和速度目标则根据终端状态约束确定。 设计的接近制导目标加速度全程保持不变,则制导加速度为0,于是剩余制导时间t e 的约束方程为:

a tg t e 2−(3v tg +v g )t e +4( tg − g )=0

式中, tg ,v tg 和a tg 分别为航向位置,速度和加速度制导目标, g 和v g 分别为制导系的航向位置和速度。则可以得到制导剩余时间最小t e 的解析表达式:

t e =(3v tg +v g )

2a tg

2悬停段飞行程序

悬停段主要任务就是对月面进行高精度三维成像,精确检测着陆区域的障碍,精确检测着陆区域的障碍,确定安全着陆点。因此,着陆器需要保持悬停状态:速度和姿态角速度接近0值,姿态和位置不变。根据激光三维成像敏感器的工作范围限制和观测足够大着陆区的要求,我们选取90~110m 范围内进行悬停控制。悬停状态下利用激光三维成像敏感器精确观测着陆区,并处理三维图像数据,确定安全着陆点,转入避障段。

3避障段飞行程序

粗避障BC段主要目的是在较大的着陆范围内剔除明显危机着陆安全的大尺度障碍,比如陨石坑,陨石块等,为高精度避障提供较好的安全点选择区域,避免出现近距离避障无可避的风险。

精避障主要目的是在粗避障选取的较为安全的区域内进行精确的障碍检测,务必要识别出并且剔除掉危及安全的小尺寸障碍。为了保证最后降落点的精度和节省燃料,嫦娥三号会精确避障和下降同时进行。根据确定的安全着陆点,从100米高处斜向下降到着陆点上方30米,相对月面下降速度到1.5m/s,水平速度接近于0.着陆器的大部分燃料消耗在制动发动上,所以月球软着陆轨道的设计要以燃耗最优性为出发点,同时兼顾降落到月面时的安全性。

4缓速下降段

为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度,缓速下降段要以较小的设定速度匀速垂直下降,消除水平速度和加速度,保持着陆器水平位置,消除水平速度和加速度,保持着陆器水平位置,直到收到关机敏感器测量信号或加速度测量大于预设置值,就关闭主发动机。从约30m高出垂直下降到着陆点上方,考虑到推进剂的消耗和导航位置漂移,选择下降速度为-2 m/s。

综上四个阶段,可知所涉及的参数太多,存在多种复杂情况,得出结果的准确性较低,故在最优控制策略前提下将几个阶段进行综合考虑,省略中间环节,对初始点和末点建立系统模型,并进行分析。

5.2.2系统参数化模型建立

软着陆转移轨道为100km15km的椭圆轨道,从近月点到月面为软着陆全过程。假设月球引力场均匀,忽略月球自转,建立的着陆坐标系如图九所示:

图5.2.4 纵向面软着陆坐标示意图

取月心o为坐标原点,oy指向陆转移轨道的近月点;r R+为嫦娥三号到月心的距离;θ是oy和or的夹角; (t)为推力方向与or垂线的夹角;F t rust为制动火箭的常值推力大小,F t rust取最大值或0.

则嫦娥三号质心运动方程为:

{

̇=v

v̇=F

m

sin −G

r2

+2

=

=−1

r

(F

m

cos +2v )

m=−F

v

(1)

其中v是嫦娥三号在矢经方向上的速度;是嫦娥三号方位角θ的角速度; m R+是嫦娥三号质量;G是月球引力常数;v e为制动火箭的排气速度,等于2940m/s。

假定初始时刻t=0,终端时刻t f为任意值。软着陆的初始天剑由嫦娥三号在椭圆轨道近月点处的状态确定。即:

r(0)=,v(0)=0,θ(0)=0,(0)=m(0)=m

为了在达到月面时实现软着陆,有如下终端要求:

r(t f)=f,v(t f)=v f, (t f)=0

其中R+是月心到近月点的距离,f R+是月球半径,v f R+为嫦娥三号到达

月球表面时的速度。

由于状态变量的量级相差较大,在轨道积分的过程中会导致有效位数的损失,统一采用归一化,同时也令优化变量保持在相同的量级。因此,令状态变量为:

{= /

v=v

,v̂=√G⁄

=

=/v̂

m=m/m 则:

{t=

t

t

,t=

F t rust=F t rust

F t rust

̂,F t rust

̂=m v̂2/

变形的运动方程如下:

{

̇=v

v̇=F

m

sin −1

r

+2

=

=−1

r

(F

m

cos +2v )

m=−F

v

√G

r0

(2)

相应的初始条件和终端约束条件改为:

{

=1

v=0

=0

=/v̂

m=1

和{

f

=f/

v f=v f/v̂

=0

5.2.3最优耗费燃料的控制设计

将运动方程(1)表示为状态方程的形式:

ẋ=(x,u) ,

其中系统状态变量为x= ,v, , ,m ,控制变量u= F t rust,。按照耗燃最优的要求,取终端性能指标为:

= [ (t f)]=m(0)−m(t f)=1−m(t f) .(3) 构造哈密顿函数为:

( , ,u)= (x,u) .(4)

其中=r,v,,,m,满足:

= H(x, ,u)

x

,(5)

即:

{r

=−2

r3

−v2−F

mr2

−2

r2

=− r+2

r

=0

=−2 −+2

r

m

=F

m

sin−F

m r

os

,(6)

由上节知,终端约束为:

= ( (t f)−r f

r0

v(t f)−v f

̂

(t f)

)

=0,

则横街条件为:

(t f=*

x + G

x

+

t t f

,(7)

其中为拉格朗日乘子。

由式(6)(7)方程可知,沿着最优轨迹,有0。将式(1)代入式(4),并注意到0,得到:

=r v−v

r2+v2−2v

r

+(

m

sin−

mr

os−

C

) t rust,(8)

根据庞德里亚金极大值原理,最优推力为:

F t rust={F max

F t rust,m sin−mr os−C0

0,

m sin−

mr

os−

C

.(9)

此外,由于不受约束,根据变分法极值条件 H=0,可得:

=−ar tan (r).(10)

综上,最优制导制u = F t rust

, 。

将最优控制律代入状态方程(2)和共轭方程(6),利用初始条件和终端约束对状态方程和共轭方程进行积分,就可得到软着陆最优轨道。此时,求最优轨道就转化成数学上对两点边值问题的求解。

5.2.4 求解两点边值

从式(2)和式(6)可以看出 m 的取值对 r , v , 以及状态变量 r,v,θ, ,m 没有影响,因而只要先确定 ,再选取迭代初值 r , v , t =0,结合已知状态变量初值 (0)= r,v,θ, ,m t =0在对式(2)和式(6)进行积分,就可以得到末端状态 (t f ),因此可以将末端状态看作迭代初值 r , v , t =0与末时刻t f 的函数。

同样可以把性能指标J 看做 r , v , t =0与t f 的函数,则本问题的两点边值问题转化为:待优化目标函数:J = (t f ) ;待优化参数: r , v , t =0,t f ;

s.t.{G =0

(2)~(6)积分

即把两点边值问题转化为以个非线性规划问题。 因此,引入下面的变换,使得迭代初值 r , v , t =0具有明确的物理意义二容易选取,由最优控制条件(10),设

v =sin ( ), =− os ( ),tan =− vr /

即:

{

v =1

r 0

sin ( ) =− os ( )

(11)

将tan =− vr / 对t 求导有:

cos 2=−( v

+ v − v

2) 将式(2),(6)和(11)代入,整理后得到:

r = +2 − v v +2 v 2

于是得到:

= 0

0r 0

+

2 0 0

r 0

0v 0r 0

+

2 02r 0 0

.(12)

这样,共轭变量初值 r , v , 就由具有物理意义的 ,

代替,可以按照经验选取合理数值,同时由于参数个数的减少也减少了运算量。

5.2.5 仿真及结果

令沿着矢径r 远离月心方向为正方向,已知制动发动机比冲v e =300×9.8m/s ,则比例系数 =v e E , E 为地球重力加速度,F max =7500 N 是发动机最大推力,月球的引力常数 M m =4.901×

1 12m 3

s ;初始时刻嫦娥三号在椭圆轨道近月点,到月心的距

离为 m1=1752.013 km ,初始角速度 =9.65×10−4 rad/s ,初始质量 m =2400kg ;

月球半径 f =1737.013 km 。

图5.2.5 非线性规划寻得的最优着陆轨迹

利用本文方法求解后,可以得到嫦娥三号最终着陆时间为t f =720.3s ,嫦娥三号最终着陆速度为v f =-2.5415 m/s ,最终消耗燃料 1812 kg ,占嫦娥三号总质量75.5%。而在完全相同的初始条件下,利用传统的打靶法得到的着陆时间和耗燃则分别为 740.2s 和1863 kg ,本文方法节省了2.74% 的燃料。

5.3 问题三的模型建立与求解

月球软着陆的动力学方程与两个坐标系有关。月心惯性坐标系定义为:原点1O 选在月心,11O x 轴指向动力下降起始点,11O y 轴垂直于11O x 轴指向着陆点方向,11O z 轴按右手法则确定。r 表示月心到探测器的距离,α和β表示月球经度和纬度。探测器轨道坐标系定义为:原点0O 为探测器质心,轴与从月心到探测器质心的矢径方向重合,背离月心方向为正,00O y 轴垂直于00O x 轴指向运动方向为正,00O z 按右手法则确定。制动推力F 的方向与探测器本体轴重合,ψ和φ为在轨道坐标系中表示的推力方向角。假设制动发动机为常推力液体发动机,忽略月球自转,则月球软着陆动力学方程可表示为:

222

2//(sin )cos //()/sin cos ///(tan )sin sin ///(tan )/r u

v r

w r u F m r v w r

v F m uv r w r w F m uw r vw r m F C

βαβψμψϕβψϕβ=⎧⎪

=⎪⎪=⎪⎪=-++⎨⎪=-+⎪

⎪=--⎪=-⎪⎩ 式中:sp E C I g =,sp I 为发动机比冲,E g 为地表重力加速度常数。

月球软着陆器的制导控制方案,采用一种燃耗次优制导率。其作用是求解推力方向角ψ和φ。可以将公式表示为

2

2226()2()/sin arccos((/()/)/)arccos(()/f go f go go F H F go H

F f r r ut u u t a t a F m a a t a a r v w r a v v ψ

ψμϕ----⎧=⎪⎪

⎪=⎪

⎪=⎨

⎪=⎪

⎪=+-+⎪

⎪=-⎩

式中:f r ,f w ,f v 分别为r ,w ,v 的终值。

通过制导率求解出的推力方位角带入动力学方程可求出软着陆器的运动轨迹。推力器的参数为:1500F N =,300sp I s =,29.8/E g m s =;

月球常数:12324.8877510/m s μ=⨯,月球半径1738L R km =;

初始参数:01753r km =,05α=,00u =,01692/v m s =,00w =,0600m kg =; 终端参数:1740f r km =,0f u =,0f v =,0f w =。

对于初始参数0β,取0会导致公式2sin cos ///(tan )v F m uv r w r ψϕβ=-+分母为0,故在实际计算中定义00.01β=。

通过Simulink 搭建模型如下:

图5.3.1

通过系统仿真,可得到速度、位置、推力方位角等参数随时间的变化曲线。如 图5.3.1所示为嫦娥三号到月心距离随时间变化曲线。着陆器下降到具月球表面2.4km 高度用480s ,推进剂燃烧后飞船质量下面将分别针对发动机推力、比冲和初始速度方向的偏差,分析其对着陆器飞行过程的影响。

图5.3.2 嫦娥三号到月心距离随时间变化曲线

5.3.1 发动机推力偏差对软着陆过程的影响

发动机推力偏差为±10%,最小推力为1500N,最大推力为7500N。由于制导控制率不变,嫦娥三号仍然能下降到具月球表面2.4km的高度,但时间会缩短。由图5.3.2可见推力的增大可以缩短着陆器下降的时间。

由于比冲不变,推力变化会引起燃料消耗速度的变化,如图5.3.3所示。然而,由于飞行时间的减小,大推力下总的燃料消耗量会减小。可见采用大推力发动机可以减小燃料的使用量。但实际情况下还要考虑大推力发动机是否会增加额外的重量,因为推力增大对燃料的节约很有效。如这个系统中,增大10%的推力只节约了1%的燃料

图5.3.3 图5.3.4

飞行时间的不同会导致最终下降的目的地不同,如图5.3.4和图5.3.5所示。而且在整个下降过程中着陆器所处的经度都没有变化。

图5.3.5

推力的变化会影响减速后的末速度。虽然任务要求下降段结束后的末速度为零,但

实际情况仍然具有很低的末速度。由图5.3.6和图5.3.7可知,大推力会使减速后的末速度减小,但缺点是会增大下降时的过载。从图5.3.6可以明显看出下降过程中垂直方向分速度的变化趋势。在减速初期,着陆器会加速下降,末期下降速度会逐渐减小。但无论哪个过程,大推力下加速度都会更大,这也说明了大推力工作时下降过程时间更短的原因。由于y 轴的分速度很小,所以不做考虑。

图5.3.6

图5.3.7

图5.3.8

5.3.2 比冲偏差对软着陆过程的影响

发动机比冲偏差为±10%,标准比冲为300,最小比冲为270,最大比冲为330。在相同的推力下,推进剂的比冲越大会延长下降段的时间。这会需要发动机工作更长时间。但由于当推力一定时,大比冲的推进剂单位时间的消耗量更少,所以综合考虑大比冲推进剂在下降段消耗的推进剂质量更少,如图5.3.9所示。

图5.3.9 图5.3.10

与推力偏差对飞行轨迹的影响类似,飞行时间的不同会导致最终下降的目的地不同。同样这种偏差只会导致纬度的不同,而经度不受影响。而且飞行时间越短,完成下降段时的纬度越小。

6

I n p u t 1

Time

Time

图5.3.11

比冲偏差引起的末速度变化与推力不同。由图5.3.12和图5.3.13可见,末速度变化与比冲变化不是单调。将这三个仿真结果进行对比,当比冲偏大10%时末速度最小;而在这三个结果中,比冲为标准值时末速度最大。与推力偏差类似,更短的下降时间会产生更多的过载。

图5.3.12 图5.3.13

5.3.3 初始速度方向偏差对软着陆过程的影响

为了研究初始速度方向偏差对着陆过程的影响,定义另外两个情况。分别为将初始速度向x 轴方向偏转5°,和将初始速度方向朝y 轴偏转5°。根据初速度00u =,

01692/v m s =,00w =计算出另外两组初始速度为:00u =,01686/v m s =,0147/w m s =;0147/u m s =,01686/v m s =,00w =。

由图5.3.14可以看出,着陆器高度的变化曲线不受横向偏航的影响。着陆器的飞行轨迹与初始的俯仰方向有关。

由于发动机的比冲和推力不变,所以速度方向偏差不影响着陆器的质量变化曲线。

图5.3.14

着陆器减速后的经纬度会受到初始速度方向的影响。其中,z 轴速度分量对经度的影响很大,而纬度只受x 轴方向速度分量影响。

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Time

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Time

图5.3.15 图5.3.16

初始速度方向偏差,对各方向的速度变化曲线影响很大。这是必然的,因为速度方向偏差会导致各方向初始速度改变。由制导率公式可知,着陆器在飞行过程中会根据当前速度和末速度的差值生成控制信号。所以,虽然初速度不同,但着陆器完成下降后的末速度是相同的。只是这一过程会根据初速度的不同,会产生不同大小的加速度。

值得注意的是,根据仿真结果z 方向的速度分量会导致初始阶段出现z 方向的速度阶跃。这在实际状态下不一定能实现,而且这当中产生的过大的加速度也是不希望出现的。这种情况的出现很可能是制导控制率导致的。还有根据仿真结果,当下降过程结束后,z 方向速度会出现发散,并导致着陆器所处经度变化。

图5.3.17 图5.3.18

六.模型的优缺点

针对问题一:对求远近月点的速度,运用物理中的能量守恒建立模型,得到的模型能够准确反映出远近月点的速度大小,结果非常精确,由数据求得的结论误差小,而数据来源的真实和使用性不高,结论不够合乎实际情况;对求远近月位置建立了模型,通过讨论六个阶段,求出着陆轨道在月球上的投影距离,优点是通过一步步详细的过程推理,考虑燃料尽量的少,结论不仅十分严谨而且是在优化的条件下求得,使得每步过程非常具有说服力,缺点是过程较为复杂,很多地方考虑的程度不够,使得结果的误差较大。

针对问题二:首先对六个阶段的过程进行不同程度的讨论,觉得难度大,转而把六个阶段看做一个整体在燃料最少的前提下求出着陆轨道。在六个阶段时对每种情况考虑的各种要素很充分,影响的因数都逐一解释和分析,误差的影响较小,从而增加了求解难度,使得得出结果非常困难;在考虑一个整体阶段,只嫦娥三号在初始点的状态和末点的状态,忽略掉所有中间过程,很严谨的推导出初始点和末点之间的函数关系,使得求出具体值得过程较简单,然后忽略掉太多东西,很多因数未考虑入类,求出解的误差较大。

针对问题三:运用仿真分析三个因数的变动对最后结果的影响,在这过程中逐步对误差进行研究,使得最后的结果具有接近实际的意义,分析方向全面,而由于分析过程较模糊得不到较准确的结论。

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七.参考文献

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八.附录

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