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时间:2020-08-15 04:09  编辑:文山京东

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习题七

1.设总体X服从二项分布b(n,p),n已知,X1,X2,…,Xn为来自X的样本,求参数p的矩法估计.

【解】因此np=

所以p的矩估计量

2.设总体X的密度函数

f(x,θ)=

X1,X2,…,Xn为其样本,试求参数θ的矩法估计.

【解】

令E(X)=A1=,因此=

所以θ的矩估计量为

3.设总体X的密度函数为f(x,θ),X1,X2,…,Xn为其样本,求θ的极大似然估计.

(1)f(x,θ)=

(2)f(x,θ)=

【解】(1)似然函数

由知

所以θ的极大似然估计量为.

(2)似然函数,i=1,2,…,n.

由知

所以θ的极大似然估计量为

4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据,结果如下:

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

收益率

0.01

-0.11

-0.12

-0.09

-0.13

-0.3

0.1

-0.09

-0.1

-0.11

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.

【解】

由知,即有

于是

所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.

5.随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布,今得X的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计.

【解】(1),令,则

且,

所以θ的矩估计值为且是一个无偏估计.

(2)似然函数,i=1,2,…,8.

显然L=L(θ)↓(θ>0),那么时,L=L(θ)最大,

所以θ的极大似然估计值=0.9.

因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计.

6.设X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,=k,问k为何值时为σ2的无偏估计.

【解】令i=1,2,…,n-1,

于是

那么当,即时,

7.设X1,X2是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样本

试证都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.

【证明】(1)

,

所以均是μ的无偏估计量.

(2)

8.某车间生产的螺钉,其直径X~N(μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm)如下:

14.715.014.814.915.115.2

试求μ的置信概率为0.95的置信区间.

【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,

,

μ的置信度为0.95的置信区间为

.

9.总体X~N(μ,σ2),σ2已知,问需抽取容量n多大的样本,才能使μ的置信概率为1-α,且置信区间的长度不大于L?

【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为,

于是置信区间长度为,

那么由≤L,得n≥

10.设某种砖头的抗压强度X~N(μ,σ2),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg·cm-2):

64694992559741848899

846610098727487844881

(1)求μ的置信概率为0.95的置信区间.

(2)求σ2的置信概率为0.95的置信区间.

【解】

(1)μ的置信度为0.95的置信区间

(2)的置信度为0.95的置信区间

11.设总体X~f(x)=

X1,X2,…,Xn是X的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.

【解】(1)

所以θ的矩估计量

(2)似然函数

.

取对数

所以θ的极大似然估计量为

12.设总体X~f(x)=

X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本

(1)求θ的矩估计量;

(2)求.

【解】(1)

所以θ的矩估计量

(2),

于是

,

所以

13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为

f(x,θ)=

其中θ(θ>0)为未知参数,又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.

【解】似然函数

那么当

所以θ的极大似然估计量

14.设总体X的概率分布为

X

0123

P

θ22θ(1-θ)θ21-2θ

其中θ(00,设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本

(1)当α=1时,求β的矩估计量;

(2)当α=1时,求β的极大似然估计量;

(3)当β=2时,求α的极大似然估计量.

【解】

当α=1时,

当β=2时,

(1)

令,于是

所以的矩估计量

(2)似然函数

所以的极大似然估计量

(3)似然函数

显然

那么当时,,

所以的极大似然估计量.

16.从正态总体X~N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问n至少应取多大?

z

1.28

1.645

1.96

2.33

z

0.9

0.95

0.975

0.99

【解】,则

于是则,

∴n≥35.

17.设总体X的概率密度为

f(x,θ)=

其中θ是未知参数(0

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