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日本女大学生性爱

时间:2020-07-11 12:14  编辑:武冈高考资讯

日本女大学生性爱

二次函数

一、选择题

1.(2014•广东,第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(  )

 

A.

函数有最小值

B.

对称轴是直线x=

 

C.

当x<,y随x的增大而减小

D.

当﹣1<x<2时,y>0

考点:

二次函数的性质.

分析:

根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;

根据图形直接判断B;

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;

根据图象,当﹣1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.

解答:

解:A、由抛物线的开口向下,可知a<0,函数有最小值,正确,故本选项不符合题意;

B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故本选项不符合题意;

C、因为a>0,所以,当x<时,y随x的增大而减小,正确,故本选项不符合题意;

D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故本选项符合题意.

故选D.

点评:

本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.

 

 

2.(2014•广西贺州,第10题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.

分析:

先根据二次函数的图象得到a>0,b<0,c<0,再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置.

解答:

解:∵抛物线开口向上,

∴a>0,

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣>0,

∴b<0,

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,

∴c<0,

∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限,反比例函数y=分布在第二、四象限.

故选B.

点评:

本题考查了二次函数的图象:二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;当a<0,抛物线开口向下.对称轴为直线x=﹣;与y轴的交点坐标为(0,c).也考查了一次函数图象和反比例函数的图象.

 

3.(2014年四川资阳,第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:

①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),

其中正确结论的个数是(  )

A.4个B.3个C.2个D.1个

考点:二次函数图象与系数的关系.

分析:利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系,需要根据图形,逐一判断.

解答:解:∵抛物线和x轴有两个交点,

∴b2﹣4ac>0,

∴4ac﹣b2<0,∴①正确;

∵对称轴是直线x﹣1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,

∴抛物线和x轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,

∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a﹣2b+c>0,

∴4a+c>2b,∴②错误;

∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c<0,

∴2a+2b+2c<0,

∵b=2a,

∴3b,2c<0,∴③正确;

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,

∴y=a﹣b+c的值最大,

即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,

∴am2+bm+b<a,

即m(am+b)+b<a,∴④正确;

即正确的有3个,

故选B.

点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系,也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法.同时注意特殊点的运用.

4.(2014年天津市,第12题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,有下列结论:

①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2.

其中,正确结论的个数是(  )

 A.0B.1C.2D.3

考点:二次函数图象与系数的关系.

分析:由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;

先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;

一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.

解答:解:①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,

∴b2﹣4ac>0,故①正确;

②∵抛物线的开口向下,

∴a<0,

∵抛物线与y轴交于正半轴,

∴c>0,

∵对称轴x=﹣>0,

∴ab<0,

∵a<0,

∴b>0,

∴abc<0,故②正确;

③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,

∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点,

由图可得,m>2,故③正确.

故选D.

点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.

 

5.(2014•新疆,第6题5分)对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是(  )

 

A.

开口向下

B.

对称轴是x=﹣1

C.

顶点坐标是(1,2)

D.

与x轴有两个交点

考点:

二次函数的性质.

专题:

常规题型.

分析:

根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.

解答:

解:二次函数y=(x﹣1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.

故选C.

点评:

本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点式为y=a(x﹣)2+,的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣b2a,当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下.

 

6.(2014•舟山,第10题3分)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为(  )

 

A.

B.

C.

2或

D.

2或﹣或

考点:

二次函数的最值

专题:

分类讨论.

分析:

根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.

解答:

解:二次函数的对称轴为直线x=m,

①m<﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值,

此时﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4,

解得m=﹣,与m<﹣2矛盾,故m值不存在;

②当﹣2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,

此时,m2+1=4,

解得m=﹣,m=(舍去);

③当m>1时,x=1时,二次函数有最大值,

此时,﹣(1﹣m)2+m2+1=4,

解得m=2,

综上所述,m的值为2或﹣.

故选C.

点评:

本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况讨论.

 

7.(2014•毕节地区,第11题3分)抛物线y=2x2,y=﹣2x2,共有的性质是()

 

A.

开口向下

B.

对称轴是y轴

 

C.

都有最低点

D.

y随x的增大而减小

考点:

二次函数的性质

分析:

根据二次函数的性质解题.

解答:

解:(1)y=2x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;

(2)y=﹣2x2开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;

(3)y=x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点.

故选B.

点评:

考查二次函数顶点式y=a(x﹣h)2+k的性质.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:

①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.

②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.

8.(2014•孝感,第12题3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:

①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.

其中正确结论的个数为(  )

 

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

考点:

二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点

专题:

数形结合.

分析:

由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(﹣1,2)得a﹣b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a,所以c﹣a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.

解答:

解:∵抛物线与x轴有两个交点,

∴b2﹣4ac>0,所以①错误;

∵顶点为D(﹣1,2),

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,

∵抛物线与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,

∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,

∴当x=1时,y<0,

∴a+b+c<0,所以②正确;

∵抛物线的顶点为D(﹣1,2),

∴a﹣b+c=2,

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,

∴b=2a,

∴a﹣2a+c=2,即c﹣a=2,所以③正确;

∵当x=﹣1时,二次函数有最大值为2,

即只有x=1时,ax2+bx+c=2,

∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根,所以④正确.

故选C.

点评:

本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2﹣4ac<0,抛物线与x轴没有交点.

9.(2014·台湾,第26题3分)已知a、h、k为三数,且二次函数y=a(x﹣h)2+k在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能为下列何者?(  )

A.1B.3C.5D.7

分析:先画出抛物线的大致图象,根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于抛物线过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则点(0,5)到对称轴的距离大于点(10,8)到对称轴的距离,所以h﹣0>10﹣h,然后解不等式后进行判断.

解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,

而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上,

∴h﹣0>10﹣h,解得h>5.

故选D.

点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

10.(2014·浙江金华,第9题4分)如图是二次函数的图象,使成立的x的取值范围是【】

A.  B.  C.  D.或

【答案】D.

【解析】

试题分析:由图象可知,当时,或.故选D.

考点:1.曲线上点的坐标与方程的关系;2.数形结合思想的应用

11.(2014•浙江宁波,第12题4分)已知点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()

 

A.

(﹣3,7)

B.

(﹣1,7)

C.

(﹣4,10)

D.

(0,10)

考点:

二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称.

分析:

把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出a、b,再求出点A的坐标,然后求出抛物线的对称轴,再根据对称性求解即可.

解答:

解:∵点A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上,

∴(a﹣2b)2+4×(a﹣2b)+10=2﹣4ab,

a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab,

(a+2)2+4(b﹣1)2=0,

∴a+2=0,b﹣1=0,

解得a=﹣2,b=1,

∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4,

2﹣4ab=2﹣4×(﹣2)×1=10,

∴点A的坐标为(﹣4,10),

∵对称轴为直线x=﹣=﹣2,

∴点A关于对称轴的对称点的坐标为(0,10).

故选D.

点评:

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,坐标与图形的变化﹣对称,把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键.

12.(2014•菏泽第8题3分)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是()

 

A.

B.

C.

D.

考点:

动点问题的函数图象.

专题:

数形结合.

分析:

分类讨论:当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2(x﹣1)2,配方得到y=﹣(x﹣2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断.

解答:

解:当0<x≤1时,y=x2,

当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,

CD=x,则AD=2﹣x,

∵Rt△ABC中,AC=BC=2,

∴△ADM为等腰直角三角形,

∴DM=2﹣x,

∴EM=x﹣(2﹣x)=2x﹣2,

∴S△ENM=(2x﹣2)2=2(x﹣1)2,

∴y=x2﹣2(x﹣1)2=﹣x2+4x﹣2=﹣(x﹣2)2+2,

∴y=,

故选A.

13.(2014•济宁,第8题3分)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是(  )

 

A.

m<a<b<n

B.

a<m<n<b

C.

a<m<b<n

D.

m<a<n<b

考点:

抛物线与x轴的交点.

分析:

依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图,根据二次函数的增减性求解.

解答:

解:依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示.

函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a<b).

方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1,方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.

由m<n,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.

由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少,则有m<a;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有b<n.

综上所述,可知m<a<b<n.

故选A.

点评:

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想.解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算.

14.(2014年山东泰安,第17题3分)已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m<n)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是(  )

 A.BCD.

分析:根据二次函数图象判断出m<﹣1,n=1,然后求出m+n<0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可.

解:由图可知,m<﹣1,n=1,所以,m+n<0,

所以,一次函数y=mx+n经过第二四象限,且与y轴相交于点(0,1),

反比例函数y=的图象位于第二四象限,

纵观各选项,只有C选项图形符合.故选C.

点评:本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键.

15.(2014年山东泰安,第20题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:

X

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列结论:

(1)ac<0;

(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;

(4)当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.

其中正确的个数为(  )

 A.4个B.3个C.2个D.1个

分析:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.

解:由图表中数据可得出:x=1时,y=5值最大,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;

∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x==1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;

∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;

∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣1<x<3时,ax2=(b﹣1)x+c>0,故(4)正确.

故选B.

点评:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

 

16.(2014•滨州,第9题3分)下列函数中,图象经过原点的是()

 

A.

y=3x

B.

y=1﹣2x

C.

y=

D.

y=x2﹣1

考点:

二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征

分析:

将点(0,0)依次代入下列选项的函数解析式进行一一验证即可.

解答:

解:∵函数的图象经过原点,

∴点(0,0)满足函数的关系式;

A、当x=0时,y=3×0=0,即y=0,∴点(0,0)满足函数的关系式y=3x;故本选项正确;

B、当x=0时,y=1﹣2×0=1,即y=1,∴点(0,0)不满足函数的关系式y=1﹣2x;故本选项错误;

C、y=的图象是双曲线,不经过原点;故本选项错误;

D、当x=0时,y=02﹣1=﹣1,即y=﹣1,∴点(0,0)不满足函数的关系式y=x2﹣1;故本选项错误;

故选A.

点评:

本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征.经过函数图象上的某点,该点一定满足该函数的解析式.

二.填空题

1.(2014•安徽省,第12题5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= a(1+x)2 .

考点:根据实际问题列二次函数关系式.

分析:由一月份新产品的研发资金为a元,根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x),而三月份在2月份的基础上又增长了x,那么三月份的研发资金也可以用x表示出来,由此即可确定函数关系式.

解答:解:∵一月份新产品的研发资金为a元,

2月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,

∴2月份研发资金为a×(1+x),

∴三月份的研发资金为y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.

故填空答案:a(1+x)2.

点评:此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式,此题是平均增长率的问题,可以用公式a(1±x)2=b来解题.

 

2.(2014年云南,第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是  .

考点:二次函数的性质.

专题:计算题.

分析:已知抛物线的解析式是一般式,用配方法转化为顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.

解答:解:∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2,

∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是(1,2).

点评:此题考查了二次函数的性质,二次函数y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,此题还考查了配方法求顶点式.

 

3.(2014•浙江湖州,第16题4分)已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1,y2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y1<y2<y3,则实数m的取值范围是  .

分析:根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2,再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2,即不大于2.5,然后列出不等式求解即可.

解:∵正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且a<b<c,

∴a最小是2,∵y1<y2<y3,∴﹣<2.5,解得m>﹣.故答案为:m>﹣.

点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,三角形的三边关系,判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键.

4.(2014•株洲,第16题,3分)如果函数y=(a﹣1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是 a<﹣5 .

考点:

抛物线与x轴的交点

分析:

函数图象经过四个象限,需满足3个条件:

(I)函数是二次函数;

(II)二次函数与x轴有两个交点;

(III)二次函数与y轴的正半轴相交.

解答:

解:函数图象经过四个象限,需满足3个条件:

(I)函数是二次函数.因此a﹣1≠0,即a≠1①

(II)二次函数与x轴有两个交点.因此△=9﹣4(a﹣1)=﹣4a﹣11>0,解得a<﹣②

(III)二次函数与y轴的正半轴相交.因此>0,解得a>1或a<﹣5③

综合①②③式,可得:a<﹣5.

故答案为:a<﹣5.

点评:

本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点,解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件.

5.(2014年江苏南京,第16题,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:

x

﹣1

0

1

2

3

y

10

5

2

1

2

则当y<5时,x的取值范围是  .

考点:二次函数与不等式

分析:根据表格数据,利用二次函数的对称性判断出x=4时,y=5,然后写出y<5时,x的取值范围即可.

解答:由表可知,二次函数的对称轴为直线x=2,所以,x=4时,y=5,

所以,y<5时,x的取值范围为0<x<4.故答案为:0<x<4.

点评:本题考查了二次函数与不等式,观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键.

6.(2014•扬州,第16题,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a﹣2b+c的值为 0 .

(第3题图)

考点:

抛物线与x轴的交点

分析:

依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点,代入解析式即可.

解答:

解:设抛物线与x轴的另一个交点是Q,

∵抛物线的对称轴是过点(1,0),与x轴的一个交点是P(4,0),

∴与x轴的另一个交点Q(﹣2,0),

把(﹣2,0)代入解析式得:0=4a﹣2b+c,

∴4a﹣2b+c=0,

故答案为:0.

点评:

本题考查了抛物线的对称性,知道与x轴的一个交点和对称轴,能够表示出与x轴的另一个交点,求得另一个交点坐标是本题的关键.

7.(2014•菏泽,第12题3分)如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则=_______.

考点:

二次函数综合题.

专题:

代数几何综合题;压轴题.

分析:

设A点坐标为(0,a),利用两个函数解析式求出点B、C的坐标,然后求出AB的长度,再根据CD∥y轴,利用y1的解析式求出D点的坐标,然后利用y2求出点E的坐标,从而得到DE的长度,然后求出比值即可得解.

解答:

解:设设A点坐标为(0,a),(a>0),

则x2=a,解得x=,

∴点B(,a),

=a,

则x=,

∴点C(,a),

∵CD∥y轴,

∴点D的横坐标与点C的横坐标相同,为,

∴y1=2=3a,

∴点D的坐标为(,3a),

∵DE∥AC,

∴点E的纵坐标为3a,

∴=3a,

∴x=3,

∴点E的坐标为(3,3a),

∴DE=3﹣,

==3﹣.

故答案为:3﹣.

点评:

本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数图象上点的坐标特征,根据平行与x轴的点的纵坐标相同,平行于y轴的点的横坐标相同,求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键.

8.(2014•珠海,第9题4分)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,則它的对称轴为 直线x=2 .

考点:

二次函数的性质

分析:

点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横坐标可求对称轴.

解答:

解:∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,

∴这两点一定关于对称轴对称,

∴对称轴是:x==2.

故答案为:直线x=2.

点评:

本题主要考查了抛物线的对称性,图象上两点的纵坐标相同,则这两点一定关于对称轴对称.

三.解答题

1.(2014•安徽省,第22题12分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;

(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.

考点:二次函数的性质;二次函数的最值.

专题:新定义.

分析:(1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可.

(2)由y1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值,然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,在利用二次函数的性质就可以解决问题.

解答:解:(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x﹣h)2+k,

当a=2,h=3,k=4时,

二次函数的关系式为y=2(x﹣3)2+4.

∵2>0,

∴该二次函数图象的开口向上.

当a=3,h=3,k=4时,

二次函数的关系式为y=3(x﹣3)2+4.

∵3>0,

∴该二次函数图象的开口向上.

∵两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4顶点相同,开口都向上,

∴两个函数y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函数”.

∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x﹣3)2+4与y=3(x﹣3)2+4.

(2)∵y1的图象经过点A(1,1),

∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.

整理得:m2﹣2m+1=0.

解得:m1=m2=1.

∴y1=2x2﹣4x+3

=2(x﹣1)2+1.

∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5

=(a+2)x2+(b﹣4)x+8

∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,

∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1

=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.

其中a+2>0,即a>﹣2.

∴.

解得:.

∴函数y2的表达式为:y2=5x2﹣10x+5.

∴y2=5x2﹣10x+5

=5(x﹣1)2.

∴函数y2的图象的对称轴为x=1.

∵5>0,

∴函数y2的图象开口向上.

①当0≤x≤1时,

∵函数y2的图象开口向上,

∴y2随x的增大而减小.

∴当x=0时,y2取最大值,

最大值为5(0﹣1)2=5.

②当1<x≤3时,

∵函数y2的图象开口向上,

∴y2随x的增大而增大.

∴当x=3时,y2取最大值,

最大值为5(3﹣1)2=20.

综上所述:当0≤x≤3时,y2的最大值为20.

点评:本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化,考查了二次函数的性质(开口方向、增减性),考查了分类讨论的思想,考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键.

 

2.(2014•福建泉州,第22题9分)如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).

(1)写出该函数图象的对称轴;

(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?

考点:

二次函数的性质;坐标与图形变化-旋转.

分析:

(1)由于抛物线过点O(0,0),A(2,0),根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1;

(2)作A′B⊥x轴与B,先根据旋转的性质得OA′=OA=2,∠A′OA=2,再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1,A′B=OB=,则A′点的坐标为(1,),根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣(x﹣1)2+的顶点.

解答:

解:(1)∵二次函数y=a(x﹣h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).

∴抛物线的对称轴为直线x=1;

(2)点A′是该函数图象的顶点.理由如下:

如图,作A′B⊥x轴于点B,

∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,

∴OA′=OA=2,∠A′OA=2,

在Rt△A′OB中,∠OA′B=30°,

∴OB=OA′=1,

∴A′B=OB=,

∴A′点的坐标为(1,),

∴点A′为抛物线y=﹣(x﹣1)2+的顶点.

点评:

本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.也考查了旋转的性质.

 

3.(2014•福建泉州,第25题12分)如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.

(1)已知:DE∥AC,DF∥BC.

①判断

四边形DECF一定是什么形状?

②裁剪

当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索:如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;

(2)折叠

请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由.

考点:

四边形综合题

分析:

(1)①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比,然后进行转换,即可得出h与x之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容易得出面积S关于h的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h的值.

(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.

解答:

解:(1)①∵DE∥AC,DF∥BC,

∴四边形DECF是平行四边形.

②作AG⊥BC,交BC于G,交DF于H,

∵∠ACB=45°,AC=24cm

∴AG==12,

设DF=EC=x,平行四边形的高为h,

则AH=12h,

∵DF∥BC,

∴=,

∵BC=20cm,

即:=

∴x=×20,

∵S=xh=x•×20=20h﹣h2.

∴﹣=﹣=6,

∵AH=12,

∴AF=FC,

∴在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大.

(2)第一步,沿∠ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1.

理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

点评:

本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值.关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论.

 

4.(2014•广东,第25题9分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).

(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;

(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;

(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.

考点:

相似形综合题.

分析:

(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;

(2)如答图2所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;

(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.

解答:

(1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.

又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.

∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.

∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,

∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,

∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.

(2)解:如答图2所示,由(1)知EF∥BC,

∴△AEF∽△ABC,

∴,即,解得:EF=10﹣t.

S△PEF=EF•DH=(10﹣t)•2t=﹣t2+10t=﹣(t﹣2)2+10

∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.

(3)解:存在.理由如下:

①若点E为直角顶点,如答图3①所示,

此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.

∵PE∥AD,∴,即,此比例式不成立,故此种情形不存在;

②若点F为直角顶点,如答图3②所示,

此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.

∵PF∥AD,∴,即,解得t=;

③若点P为直角顶点,如答图3③所示.

过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.

∵EM∥AD,∴,即,解得BM=t,

∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t.

在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(t)2=t2.

∵FN∥AD,∴,即,解得CN=t,

∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t.

在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣t)2=t2﹣85t+100.

在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,

即:(10﹣t)2=(t2)+(t2﹣85t+100)

化简得:t2﹣35t=0,

解得:t=或t=0(舍去)

∴t=.

综上所述,当t=秒或t=秒时,△PEF为直角三角形.

点评:

本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.

5.(2014•珠海,第22题9分)如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.

(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G、O、E三点,则它的解析式为: y=x2﹣x ;

(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;

(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设△PQH的面积为s,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)求解析式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.

(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.

(3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得关系式再代入,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制.

解答:

解:(1)如图1,过G作GI⊥CO于I,过E作EJ⊥CO于J,

∵A(2,0)、C(0,2),

∴OE=OA=2,OG=OC=2,

∵∠GOI=30°,∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°,

∴GI=sin30°•GO==,

IO=cos30°•GO==3,

JO=cos30°•OE==,

JE=sin30°•OE==1,

∴G(﹣,3),E(,1),

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

∵经过G、O、E三点,

∴,

解得,

∴y=x2﹣x.

(2)∵四边形OHMN为平行四边形,

∴MN∥OH,MN=OH,

∵OH=OF,

∴MN为△OGF的中位线,

∴xD=xN=•xG=﹣,

∴D(﹣,0).

(3)设直线GE的解析式为y=kx+b,

∵G(﹣,3),E(,1),

∴,

解得,

∴y=﹣x+2.

∵Q在抛物线y=x2﹣x上,

∴设Q的坐标为(x,x2﹣x),

∵Q在R、E两点之间运动,

∴﹣<x<.

①当﹣<x<0时,

如图2,连接PQ,HQ,过点Q作QK∥y轴,交GE于K,则K(x,﹣x+2),

∵S△PKQ=•(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP),

S△HKQ=•(yK﹣yQ)•(xH﹣xQ),

∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP)+•(yK﹣yQ)•(xH﹣xQ)

=•(yK﹣yQ)•(xH﹣xP)=•[﹣x+2﹣(x2﹣x)]•[0﹣(﹣)]=﹣x2+.

②当0≤x<时,

如图2,连接PQ,HQ,过点Q作QK∥y轴,交GE于K,则K(x,﹣x+2),

同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•(yK﹣yQ)•(xQ﹣xP)﹣•(yK﹣yQ)•(xQ﹣xH)

=•(yK﹣yQ)•(xH﹣xP)=﹣x2+.

综上所述,S△PQH=﹣x2+.

∵,

∴<﹣x2+≤,

解得﹣<x<,

∵﹣<x<,

∴﹣<x<.

点评:

本题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.

6.2014•广西贺州,第26题12分)二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1,);点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP;

(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.

考点:

二次函数综合题.

专题:

综合题.

分析:

(1)根据题意可设函数的解析式为y=ax2,将点A代入函数解析式,求出a的值,继而可求得二次函数的解析式;

(2)过点P作PB⊥y轴于点B,利用勾股定理求出PF,表示出PM,可得PF=PM,∠PFM=∠PMF,结合平行线的性质,可得出结论;

(3)首先可得∠FMH=30°,设点P的坐标为(x,x2),根据PF=PM=FM,可得关于x的方程,求出x的值即可得出答案.

解答:

(1)解:∵二次函数图象的顶点在原点O,

∴设二次函数的解析式为y=ax2,

将点A(1,)代入y=ax2得:a=,

∴二次函数的解析式为y=x2;

(2)证明:∵点P在抛物线y=x2上,

∴可设点P的坐标为(x,x2),

过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=x2﹣1,PB=x,

∴Rt△BPF中,

PF==x2+1,

∵PM⊥直线y=﹣1,

∴PM=x2+1,

∴PF=PM,

∴∠PFM=∠PMF,

又∵PM∥x轴,

∴∠MFH=∠PMF,

∴∠PFM=∠MFH,

∴FM平分∠OFP;

(3)解:当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,

∴∠FMH=30°,

在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,

∵PF=PM=FM,

∴x2+1=4,

解得:x=±2,

∴x2=×12=3,

∴满足条件的点P的坐标为(2,3)或(﹣2,3).

点评:

本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质,解答本题的关键是熟练基本知识,数形结合,将所学知识融会贯通.

 

7.(2014•广西玉林市、防城港市,第26题12分)给定直线l:y=kx,抛物线C:y=ax2+bx+1.

(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值;

(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点.

①求此抛物线的解析式;

②若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点,O为原点.求证:OP=PQ.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)直线与抛物线的交点B与A关于原点对称,即横纵坐标对应互为相反数,即相加为零,这很使用于韦达定理.由其中有涉及顶点,考虑顶点式易得a值.

(2)①直线l:y=kx向上平移k2+1,得直线r:y=kx+k2+1.根据无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C:y=ax2+bx+1都只有一个交点,得ax2+(b﹣k)x﹣k2=0中△==0.这虽然是个方程,但无法求解.这里可以考虑一个数学技巧,既然k取任何值都成立,那么代入最简单的1,2肯定是成立的,所以可以代入试验,进而可求得关于a,b的方程组,则a,b可能的值易得.但要注意答案中,可能有的只能满足k=1,2时,并不满足任意实数k,所以可以再代回△=中,若不能使其结果为0,则应舍去.

②求证OP=PQ,那么首先应画出大致的示意图.发现图中几何条件较少,所以考虑用坐标转化求出OP,PQ的值,再进行比较.这里也有数学技巧,讨论动点P在抛物线y=﹣x2+1上,则可设其坐标为(x,﹣x2+1),进而易求OP,PQ.

解答:

(1)解:

∵l:y=kx,C:y=ax2+bx+1,当b=1时有A,B两交点,

∴A,B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1,即ax2+(1﹣k)x+1=0.

∵B与A关于原点对称,

∴0=xA+xB=,

∴k=1.

∵y=ax2+x+1=a(x+)2+1﹣,

∴顶点(﹣,1﹣)在y=x上,

∴﹣=1﹣,

解得a=﹣.

(2)

①解:∵无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点,

∴k=1时,k=2时,直线r与抛物线C都只有一个交点.

当k=1时,r:y=x+2,

∴代入C:y=ax2+bx+1中,有ax2+(b﹣1)x﹣1=0,

∵△==0,

∴(b﹣1)2+4a=0,

当k=2时,r:y=2x+5,

∴代入C:y=ax2+bx+1中,有ax2+(b﹣2)x﹣4=0,

∵△==0,

∴(b﹣2)2+16a=0,

∴联立得关于a,b的方程组,

解得或.

∵r:y=kx+k2+1代入C:y=ax2+bx+1,得ax2+(b﹣k)x﹣k2=0,

∴△=.

当时,△===0,故无论k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点.

当时,△==,显然虽k值的变化,△不恒为0,所以不合题意舍去.

∴C:y=﹣x2+1.

②证明:

根据题意,画出图象如图1,

由P在抛物线y=﹣x2+1上,设P坐标为(x,﹣x2+1),连接OP,过P作PQ⊥直线y=2于Q,作PD⊥x轴于D,

∵PD=|﹣x2+1|,OD=|x|,

∴OP====,

PQ=2﹣yP=2﹣(﹣x2+1)=,

∴OP=PQ.

点评:

本题考查了二次函数、一次函数及图象,图象平移解析式变化,韦达定理及勾股定理等知识,另涉及一些数学技巧,学生解答有一定难度,需要好好理解掌握.

 

8.(2014年四川资阳,第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).

(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?

(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.

考点:二次函数的应用;一元一次不等式组的应用.

分析:(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,然后根据数量和单价列出不等式组,求解得到x的取值范围,再根据空调台数是正整数确定进货方案;

(2)设总利润为W元,根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式,然后根据二次函数的增减性求出最大值即可.

解答:解:(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,

由题意得,,

解不等式①得,x≥11,

解不等式②得,x≤15,

所以,不等式组的解集是11≤x≤15,

∵x为正整数,

∴x可取的值为11、12、13、14、15,

所以,该商家共有5种进货方案;

(2)设总利润为W元,

y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,

则W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2,

=1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x),

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000,

=30x2﹣540x+12000,

=30(x﹣9)2+9570,

当x>9时,W随x的增大而增大,

∵11≤x≤15,

∴当x=15时,W最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元),

答:采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元.

点评:本题考查了二次函数的应用,一元一次不等式组的应用,(1)关键在于确定出两个不等关系,(2)难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式.

 

9.(2014年四川资阳,第24题12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;

(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.

考点:二次函数综合题.

分析:(1)根据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.

(2)分三种情况:①当MA=MB时;②当AB=AM时;③当AB=BM时;三种情况讨论可得点M的坐标.

(3)平移后的三角形记为△PEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3.易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中.分二种情况:①当0<m≤时;②当<m<3时;讨论可得用m的代数式表示S.

解答:解:(1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),则

,

解得.

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.

(2)①当MA=MB时,M(0,0);

②当AB=AM时,M(0,﹣3);

③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3﹣3).

所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3)、(0,3﹣3).

(3)平移后的三角形记为△PEF.

设直线AB的解析式为y=kx+b,则

,

解得.

则直线AB的解析式为y=﹣x+3.

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到△PEF,

易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.

设直线AC的解析式为y=k′x+b′,则

,

解得.

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6.

连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3).

在△AOB沿x轴向右平移的过程中.

①当0<m≤时,如图1所示.

设PE交AB于K,EF交AC于M.

则BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,

联立,

解得,

即点M(3﹣m,2m).

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

=PE2﹣PK2﹣AF•h

=﹣(3﹣m)2﹣m•2m

=﹣m2+3m.

②当<m<3时,如图2所示.

设PE交AB于K,交AC于H.

因为BE=m,所以PK=PA=3﹣m,

又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6,

所以当x=m时,得y=6﹣2m,

所以点H(m,6﹣2m).

故S=S△PAH﹣S△PAK

=PA•PH﹣PA2

=﹣(3﹣m)•(6﹣2m)﹣(3﹣m)2

=m2﹣3m+.

综上所述,当0<m≤时,S=﹣m2+3m;当<m<3时,S=m2﹣3m+.

点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:抛物线的对称轴,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度.

10.(2014•温州,第21题10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连结BE交MN于点F,已知点A的坐标为(﹣1,0).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.

(2)求△EMF与△BNE的面积之比.

考点:

抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质.

分析:

(1)直接将(﹣1,0)代入求出即可,再利用配方法求出顶点坐标;

(2)利用EM∥BN,则△EMF∽△BNF,进而求出△EMF与△BNE的面积之比.

解答:

解:(1)由题意可得:﹣(﹣1)2+2×(﹣1)+c=0,

解得:c=3,

∴y=﹣x2+2x+3,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴顶点M(1,4);

(2)∵A(﹣1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,

∴点B(3,0),

∴EM=1,BN=2,

∵EM∥BN,

∴△EMF∽△BNF,

∴=()2=()2=.

点评:

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质,得出△EMF∽△BNF是解题关键.

 

11.(2014•舟山,第22题10分)实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).

(1)根据上述数学模型计算:

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?

②当x=5时,y=45,求k的值.

(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.

考点:

二次函数的应用;反比例函数的应用

分析:

(1)①利用y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200确定最大值;

②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可;

(2)求出x=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班.

解答:

解:(1)①y=﹣200x2+400x=﹣200(x﹣1)2+200,

∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);

②∵当x=5时,y=45,y=(k>0),

∴k=xy=45×5=225;

(2)不能驾车上班;

理由:∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,

∴将x=11代入y=,则y=>20,

∴第二天早上7:00不能驾车去上班.

点评:

此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用,根据图象得出正确信息是解题关键.

 

12.(2014•舟山,第24题12分)如图,在平面直角坐标系中,A是抛物线y=x2上的一个动点,且点A在第一象限内.AE⊥y轴于点E,点B坐标为(0,2),直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称,直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,△BED的面积为S.

(1)当m=时,求S的值.

(2)求S关于m(m≠2)的函数解析式.

(3)①若S=时,求的值;

②当m>2时,设=k,猜想k与m的数量关系并证明.

考点:

二次函数综合题

专题:

综合题.

分析:

(1)首先可得点A的坐标为(m,m2),再由m的值,确定点B的坐标,继而可得点E的坐标及BE、OE的长度,易得△ABE∽△CBO,利用对应边成比例求出CO,根据轴对称的性质得出DO,继而可求解S的值;

(2)分两种情况讨论,(I)当0<m<2时,将BE•DO转化为AE•BO,求解;(II)当m>2时,由(I)的解法,可得S关于m的函数解析式;

(3)①首先可确定点A的坐标,根据===k,可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF,从而可得===k,代入即可得出k的值;

②可得===k,因为点A的坐标为(m,m2),S=m,代入可得k与m的关系.

解答:

解:(1)∵点A在二次函数y=x2的图象上,AE⊥y轴于点E且AE=m,

∴点A的坐标为(m,m2),

当m=时,点A的坐标为(,1),

∵点B的坐标为(0,2),

∴BE=OE=1.

∵AE⊥y轴,

∴AE∥x轴,

∴△ABE∽△CBO,

∴==,

∴CO=2,

∵点D和点C关于y轴对称,

∴DO=CO=2,

∴S=BE•DO=×1×2=;

(2)(I)当0<m<2时(如图1),

∵点D和点C关于y轴对称,

∴△BOD≌△BOC,

∵△BEA∽△BOC,

∴△BEA∽△BOD,

∴=,即BE•DO=AE•BO=2m.

∴S=BE•DO=×2m=m;

(II)当m>2时(如图2),

同(I)解法得:S=BE•DO=AE•OB=m,

由(I)(II)得,

S关于m的函数解析式为S=m(m>0且m≠2).

(3)①如图3,连接AD,

∵△BED的面积为,

∴S=m=,

∴点A的坐标为(,),

∵===k,

∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF,

∴===k,

∴k===;

②k与m之间的数量关系为k=m2,

如图4,连接AD,

∵===k,

∴S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF,

∴===k,

∵点A的坐标为(m,m2),S=m,

∴k===m2(m>2).

点评:

本题考查了二次函数的综合,涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质,解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用,难度较大.

13.(2014年广东汕尾,第25题10分)如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标;

(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

分析:(1)令y=0,解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标;令x=0,求出y=﹣3,可确定C点坐标;

(2)根据抛物线的对称性,可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;再根据三角形的等面积法,在x轴上方,存在两个点,这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离;

(3)根据梯形定义确定点P,如图所示:①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P1与D点重合,即可求得点P1的坐标;②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的解析式,再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标.

解:(1)∵y=x2﹣x﹣3,∴当y=0时,x2﹣x﹣3=0,

解得x1=﹣2,x2=4.当x=0,y=﹣3.

∴A点坐标为(4,0),D点坐标为(﹣2,0),C点坐标为(0,﹣3);

(2)∵y=x2﹣x﹣3,∴对称轴为直线x==1.

∵AD在x轴上,点M在抛物线上,

∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时,分两种情况:

①点M在x轴下方时,根据抛物线的对称性,可知点M与点C关于直线x=1对称,

∵C点坐标为(0,﹣3),∴M点坐标为(2,﹣3);

②点M在x轴上方时,根据三角形的等面积法,可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3.当y=4时,x2﹣x﹣3=3,解得x1=1+,x2=1﹣,

∴M点坐标为(1+,3)或(1﹣,3).

综上所述,所求M点坐标为(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3);

(3)结论:存在.

如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意:

①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1.

由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC∥x轴,则P1与D点重合,

∴P1(﹣2,0).∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC,∴四边形ABCP1为梯形;

②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2.

∵A点坐标为(4,0),B点坐标为(2,﹣3),∴直线AB的解析式为y=x﹣6,

∴可设直线CP2的解析式为y=x+n,将C点坐标(0,﹣3)代入,得b=﹣3,

∴直线CP2的解析式为y=x﹣3.∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上,

∴x2﹣x﹣3=x﹣3,化简得:x2﹣6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6,

∴点P2横坐标为6,代入直线CP2解析式求得纵坐标为6,∴P2(6,6).

∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形ABCP2为梯形.

综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形;点P的坐标为(﹣2,0)或(6,6).

点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法,三角形的面积,梯形的判定.综合性较强,有一定难度.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

14.(2014•毕节地区,第27题16分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣1,﹣1),与x轴交点M(1,0).C为x轴上一点,且∠CAO=90°,线段AC的延长线交抛物线于B点,另有点F(﹣1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)求直线Ac的解析式及B点坐标;

(3)过点B做x轴的垂线,交x轴于Q点,交过点D(0,﹣2)且垂直于y轴的直线于E点,若P是△BEF的边EF上的任意一点,是否存在BP⊥EF?若存在,求P点的坐标,若不存在,请说明理由.

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)利用顶点式将(﹣1,﹣1)代入求出函数解析式即可;

(2)首先根据题意得出C点坐标,进而利用待定系数法求出直线AC的解析式,进而联立二次函数解析式,即可得出B点坐标;

(3)首先求出直线EF的解析式,进而得出BP的解析式,进而将y=﹣2x﹣7和y=x+联立求出P点坐标即可.

解答:

解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x+1)2﹣1,将(1,0)代入得:

0=a(1+1)2﹣1,

解得;a=,

∴抛物线的解析式为:y=(x+1)2﹣1;

(2)∵A(﹣1,﹣1),

∴∠COA=45°,

∵∠CAO=90°,

∴△CAO是等腰直角三角形,

∴AC=AO,

∴C(﹣2,0),

设直线AC的解析式为:y=kx+b,

将A,C点代入得出:,

解得:,

∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣2,

将y=(x+1)2﹣1和y=﹣x﹣2联立得:

,

解得:,,

∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣2,B点坐标为:(﹣5,3);

(3)过点B作BP⊥EF于点P,

由题意可得出:E(﹣5,﹣2),设直线EF的解析式为:y=dx+c,

则,

解得:,

∴直线EF的解析式为:y=x+,

∵直线BP⊥EF,∴设直线BP的解析式为:y=﹣2x+e,

将B(﹣5,3)代入得出:3=﹣2×(﹣5)+e,

解得:e=﹣7,

∴直线BP的解析式为:y=﹣2x﹣7,

∴将y=﹣2x﹣7和y=x+联立得:

,

解得:,

∴P(﹣3,﹣1),

故存在P点使得BP⊥EF,此时P(﹣3,﹣1).

点评:

此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识,求出C点坐标是解题关键.

15.(2014•武汉2014•武汉,第29题10分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:

时间x(天)

1≤x<50

50≤x≤90

售价(元/件)

x+40

90

每天销量(件)

200﹣2x

已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.

(1)求出y与x的函数关系式;

(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?

(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

考点:

二次函数的应用

分析:

(1)根据单价乘以数量,可得利润,可得答案;

(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案;

(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式,根据解不等式组,可得答案.

解答:

解:(1)当1≤x<50时,y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+200,

当50≤x≤90时,

y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000,

综上所述:y=;

(2)当1≤x<50时,二次函数开口下,二次函数对称轴为x=45,

当x=45时,y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050,

当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,

当x=50时,y最大=6000,

综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元;

(3)当20≤x≤60时,每天销售利润不低于4800元.

点评:

本题考查了二次函数的应用,利用单价乘以数量求函数解析式,利用了函数的性质求最值.

16.(2014•武汉,第25题12分)如图,已知直线AB:y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点.

(1)直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标;

(2)当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;

(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.

考点:

二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;根与系数的关系;勾股定理;相似三角形的判定与性质

专题:

压轴题.

分析:

(1)要求定点的坐标,只需寻找一个合适x,使得y的值与k无关即可.

(2)只需联立两函数的解析式,就可求出点A、B的坐标.设出点P的横坐标为a,运用割补法用a的代数式表示△APB的面积,然后根据条件建立关于a的方程,从而求出a的值,进而求出点P的坐标.

(3)设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t,从条件∠ADB=90°出发,可构造k型相似,从而得到m、n、t的等量关系,然后利用根与系数的关系就可以求出t,从而求出点D的坐标.由于直线AB上有一个定点C,容易得到DC长就是点D到AB的最大距离,只需构建直角三角形,利用勾股定理即可解决问题.

解答:

解:(1)∵当x=﹣2时,y=(﹣2)k+2k+4=4.

∴直线AB:y=kx+2k+4必经过定点(﹣2,4).

∴点C的坐标为(﹣2,4).

(2)∵k=﹣,

∴直线的解析式为y=﹣x+3.

联立,

解得:或.

∴点A的坐标为(﹣3,),点B的坐标为(2,2).

过点P作PQ∥y轴,交AB于点Q,

过点A作AM⊥PQ,垂足为M,

过点B作BN⊥PQ,垂足为N,如图1所示.

设点P的横坐标为a,则点Q的横坐标为a.

∴yP=a2,yQ=﹣a+3.

∵点P在直线AB下方,

∴PQ=yQ﹣yP

=﹣a+3﹣a2

∵AM+NB=a﹣(﹣3)+2﹣a=5.

∴S△APB=S△APQ+S△BPQ

=PQ•AM+PQ•BN

=PQ•(AM+BN)

=(﹣a+3﹣a2)•5

=5.

整理得:a2+a﹣2=0.

解得:a1=﹣2,a2=1.

当a=﹣2时,yP=×(﹣2)2=2.

此时点P的坐标为(﹣2,2).

当a=1时,yP=×12=.

此时点P的坐标为(1,).

∴符合要求的点P的坐标为(﹣2,2)或(1,).

(3)过点D作x轴的平行线EF,

作AE⊥EF,垂足为E,

作BF⊥EF,垂足为F,如图2.

∵AE⊥EF,BF⊥EF,

∴∠AED=∠BFD=90°.

∵∠ADB=90°,

∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF.

∵∠AED=∠BFD,∠ADE=∠DBF,

∴△AED∽△DFB.

∴.

设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t,

则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2.

AE=yA﹣yE=m2﹣t2.

BF=yB﹣yF=n2﹣t2.

ED=xD﹣xE=t﹣m,

DF=xF﹣xD=n﹣t.

∵,

∴=.

化简得:mn+(m+n)t+t2+4=0.

∵点A、B是直线AB:y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点,

∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根.

∴m+n=2k,mn=﹣4k﹣8.

∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0,

即t2+2kt﹣4k﹣4=0.

即(t﹣2)(t+2k+2)=0.

∴t1=2,t2=﹣2k﹣2(舍).

∴定点D的坐标为(2,2).

过点D作x轴的平行线DG,

过点C作CG⊥DG,垂足为G,如图3所示.

∵点C(﹣2,4),点D(2,2),

∴CG=4﹣2=2,DG=2﹣(﹣2)=4.

∵CG⊥DG,

∴DC=

=

=

=2.

过点D作DH⊥AB,垂足为H,如图3所示,

∴DH≤DC.

∴DH≤2.

∴当DH与DC重合即DC⊥AB时,

点D到直线AB的距离最大,最大值为2.

∴点D到直线AB的最大距离为2.

点评:

本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识,考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法,综合性比较强.构造K型相似以及运用根与系数的关系是求出点D的坐标的关键,点C是定点又是求点D到直线AB的最大距离的突破口.

17.(2014•襄阳,第26题12分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.

(1)填空:点A坐标为 (1,4) ;抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣1)2+4 .

(2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?

(3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标,根据待定系数法可得抛物线的解析式;

(2)先根据勾股定理可得CE,再分两种情况:当∠QPC=90°时;当∠PQC=90°时;讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值;

(3)根据待定系数法可得直线AC的解析式,根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣(t﹣2)2+1,依此即可求解.

解答:

解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,

∴点A坐标为(1,4),

设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+4,

把C(3,0)代入抛物线的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,

解得a=﹣1.

故抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

(2)依题意有:OC=3,OE=4,

∴CE===5,

当∠QPC=90°时,

∵cos∠QPC==,

∴=,

解得t=;

当∠PQC=90°时,

∵cos∠QCP==,

∴=,

解得t=.

∴当t=或t=时,△PCQ为直角三角形;

(3)∵A(1,4),C(3,0),

设直线AC的解析式为y=kx+b,则

,

解得.

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6.

∵P(1,4﹣t),将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,

∴Q点的横坐标为1+,

将x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.

∴Q点的纵坐标为4﹣,

∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ

=FQ•AG+FQ•DG

=FQ(AG+DG)

=FQ•AD

=×2(t﹣)

=﹣(t﹣2)2+1,

∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1.

故答案为:(1,4),y=﹣(x﹣1)2+4.

点评:

考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:抛物线的对称轴,矩形的性质,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,勾股定理,三角形面积,二次函数的最值,以及分类思想的运用.

18.(10分)(2014•孝感,第22题10分)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.

(1)求k的取值范围;

(2)试说明x1<0,x2<0;

(3)若抛物线y=x2﹣(2k﹣3)x+k2+1与x轴交于A、B两点,点A、点B到原点的距离分别为OA、OB,且OA+OB=2OA•OB﹣3,求k的值.

考点:

抛物线与x轴的交点;根的判别式;根与系数的关系

分析:

(1)方程有两个不相等的实数根,则判别式大于0,据此即可列不等式求得k的范围;

(2)利用根与系数的关系,说明两根的和小于0,且两根的积大于0即可;

(3)不妨设A(x1,0),B(x2,0).利用x1,x2表示出OA、OB的长,则根据根与系数的关系,以及OA+OB=2OA•OB﹣3即可列方程求解.

解答:

解:(1)由题意可知:△=【﹣(2k﹣3)】2﹣4(k2+1)>0,

即﹣12k+5>0

∴.

(2)∵,

∴x1<0,x2<0.

(3)依题意,不妨设A(x1,0),B(x2,0).

∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣(x1+x2)=﹣(2k﹣3),

OA•OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1,

∵OA+OB=2OA•OB﹣3,

∴﹣(2k﹣3)=2(k2+1)﹣3,

解得k1=1,k2=﹣2.

∵,

∴k=﹣2.

点评:

本题考查了二次函数与x轴的交点,两交点的横坐标就是另y=0,得到的方程的两根,则满足一元二次方程的根与系数的关系.

19.(2014•孝感,第25题12分)如图1,矩形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B,与x轴交于点E、点F,且其顶点M在CD上.

(1)请直接写出下列各点的坐标:A (0,3) ,B (4,3) ,C (4,﹣1) ,D (0,﹣1) ;

(2)若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合),过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图2.

①当线段PH=2GH时,求点P的坐标;

②当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足△KPH∽△AEF,求△KPH面积的最大值.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)令x=0,得到点A的坐标,再根据点A的纵坐标得到点B的坐标,根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C.D的坐标;

(2)①根据待定系数法可得直线BD的解析式,设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).分三种情况:1°当x≥1且x≠4时;2°当0<x<1时;3°当x<0时;三种情况讨论可得点P的坐标;

②根据相似三角形的性质可得,再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值.

解答:

解:(1)A(0,3),B(4,3),C(4,﹣1),D(0,﹣1).

(2)①设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),由于直线BD经过D(0,﹣1),B(4,3),

∴,

解得,

∴直线BD的解析式为y=x﹣1.(5分)

设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).

1°当x≥1且x≠4时,点G在PH的延长线上,如图①.

∵PH=2GH,

∴(x﹣1)﹣(x2﹣4x+3)=2[3﹣(x﹣1)],

∴x2﹣7x+12=0,

解得x1=3,x2=4.

当x2=4时,点P,H,G重合于点B,舍去.

∴x=3.

∴此时点P的坐标为(3,0).

2°当0<x<1时,点G在PH的反向延长线上,如图②,PH=2GH不成立.

3°当x<0时,点G在线段PH上,如图③.

∵PH=2GH,

∴(x2﹣4x+3)﹣(x﹣1)=2[3﹣(x﹣1)],

∴x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1,x2=4(舍去),

∴x=﹣1.此时点P的坐标为(﹣1,8).

综上所述可知,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,8).

②如图④,令x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,

∴E(1,0),F(3,0),

∴EF=2.

∴S△AEF=EF•OA=3.

∵△KPH∽△AEF,

∴,

∴.

∵1<x<4,

∴当时,s△KPH的最大值为.

故答案为:(0,3),(4,3),(4,﹣1),(0,﹣1).

点评:

考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:坐标轴上的点的坐标特征,抛物线的顶点式,矩形的性质,待定系数法求直线的解析式,相似三角形的性质,二次函数的增减性,分类思想,综合性较强,有一定的难度..

20.(2014•邵阳,第26题10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.

(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;

(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;

(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)已知m,n的值,即已知抛物线解析式,求解y=0时的解即可.此时y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),所以也可直接求出方程的解,再代入m,n的值,推荐此方式,因为后问用到的可能性比较大.

(2)求∠ACB,我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断,所以利用条件易得﹣1=mn,进而可以用m来表示A、B点的坐标,又C已知,则易得AB、BC、AC边长.讨论即可.

(3)△ABC是等腰三角形,即有三种情形,AB=AC,AB=BC,AC=BC.由(2)我们可以用n表示出其三边长,则分别考虑列方程求解n即可.

解答:

解:(1)∵y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),

∴x=m或x=n时,y都为0,

∵m>n,且点A位于点B的右侧,

∴A(m,0),B(n,0).

∵m=2,n=1,

∴A(2,0),B(1,0).

(2)∵抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)过C(0,﹣1),

∴﹣1=mn,

∴n=﹣,

∵B(n,0),

∴B(﹣,0).

∵AO=m,BO=﹣,CO=1

∴AC==,

BC==,

AB=AO+BO=m﹣,

∵(m﹣)2=()2+()2,

∴AB2=AC2+BC2,

∴∠ACB=90°.

(3)∵A(m,0),B(n,0),C(0,mn),且m=2,

∴A(2,0),B(n,0),C(0,2n).

∴AO=2,BO=|n|,CO=|2n|,

∴AC==,

BC==|n|,

AB=xA﹣xB=2﹣n.

①当AC=BC时,=|n|,解得n=2(A、B两点重合,舍去)或n=﹣2;

②当AC=AB时,=2﹣n,解得n=0(B、C两点重合,舍去)或n=﹣;

③当BC=AB时,|n|=2﹣n,

当n>0时,n=2﹣n,解得n=,

当n<0时,﹣n=2﹣n,解得n=﹣.

综上所述,n=﹣2,﹣,﹣,时,△ABC是等腰三角形.

点评:

本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识,总体难度适中,是一道非常值得学生加强联系的题目.

21.(2014•浙江宁波,第23题10分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点.

(1)求二次函数的解析式;

(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;

(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.

考点:

待定系数法求二次函数解析式;一次函数的图象;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组)

分析:

(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点,代入得出关于a,b,c的三元一次方程组,求得a,b,c,从而得出二次函数的解析式;

(2)令y=0,解一元二次方程,求得x的值,从而得出与x轴的另一个交点坐标;

(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.

解答:

解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点,

∴,

∴a=,b=﹣,c=﹣1,

∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1;

(2)当y=0时,得x2﹣x﹣1=0;

解得x1=2,x2=﹣1,

∴点D坐标为(﹣1,0);

(3)图象如图,

当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是﹣1<x<4.

点评:

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.

22.(2014•四川自贡,第24题14分)如图,已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点,连接AC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)证明:△ABC为直角三角形;

(3)△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点,则B、C坐标可求.进而代入抛物线y=ax2﹣x+c,即得a、c的值,从而有抛物线解析式.

(2)求证三角形为直角三角形,我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理.本题中未提及特殊角度,而已经A、B、C坐标,即可知AB、AC、BC,则显然可用勾股定理证明.

(3)在直角三角形中截出矩形,面积最大,我们易得两种情形,①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x,利用三角形相似等性质表示另一边,进而描述面积函数.利用二次函数最值性质可求得最大面积.

解答:

(1)解:∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点,

∴B(4,0),C(0,﹣2),

∵y=ax2﹣x+c过B、C两点,

∴,

解得,

∴y=x2﹣x﹣2.

(2)证明:如图1,连接AC,

∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点,

∴A(﹣1,0),

在Rt△AOC中,

∵AO=1,OC=2,

∴AC=,

在Rt△BOC中,

∵BO=4,OC=2,

∴BC=2,

∵AB=AO+BO=1+4=5,

∴AB2=AC2+BC2,

∴△ABC为直角三角形.

(3)解:△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为,理由如下:

①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,如图2,此时△AGF∽△ACB∽△FEB.

设GC=x,AG=﹣x,

∵,

∴,

∴GF=2﹣2x,

∴S=GC•GF=x•(2)=﹣2x2+2x=﹣2[(x﹣)2﹣]=﹣2(x﹣)2+,

即当x=时,S最大,为.

②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点,如图3,此时△CDE∽△CAB∽△GAD,

设GD=x,

∵,

∴,

∴AD=x,

∴CD=CA﹣AD=﹣x,

∵,

∴,

∴DE=5﹣x,

∴S=GD•DE=x•(5﹣x)=﹣x2+5x=﹣[(x﹣1)2﹣1]=﹣(x﹣1)2+,

即x=1时,S最大,为.

综上所述,△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为.

点评:

本题考查了二次函数图象的基本性质,最值问题及相似三角形性质等知识点,难度适中,适合学生巩固知识.

 

23.(2014•浙江湖州,第23题分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD和AD.

(1)若点A的坐标是(﹣4,4)

①求b,c的值;

②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;

(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.

分析:(1)①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值;

②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形;

(2)根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=,再根据勾股定理可得OC=BC,AC=OC,可求得横坐标为±c,纵坐标为c.

解:(1)

①∵AC∥x轴,A点坐标为(﹣4,4).∴点C的坐标是(0,4)

把A、C代入y═﹣x2+bx+c得,得,解得;

②四边形AOBD是平行四边形;理由如下:

由①得抛物线的解析式为y═﹣x2﹣4x+4,∴顶点D的坐标为(﹣2,8),

过D点作DE⊥AB于点E,则DE=OC=4,AE=2,

∵AC=4,∴BC=AC=2,∴AE=BC.∵AC∥x轴,∴∠AED=∠BCO=90°,

∴△AED≌△BCO,∴AD=BO.∠DAE=∠BCO,∴AD∥BO,

∴四边形AOBD是平行四边形.

(2)存在,点A的坐标可以是(﹣2,2)或(2,2)

要使四边形AOBD是矩形;则需∠AOB=∠BCO=90°,

∵∠ABO=∠OBC,∴△ABO∽△OBC,∴=,

又∵AB=AC+BC=3BC,∴OB=BC,

∴在Rt△OBC中,根据勾股定理可得:OC=BC,AC=OC,

∵C点是抛物线与y轴交点,∴OC=c,

∴A点坐标为(c,c),∴顶点横坐标=c,b=c,

∵将A点代入可得c=﹣+c•c+c,

∴横坐标为±c,纵坐标为c即可,令c=2,

∴A点坐标可以为(2,2)或者(﹣2,2).

点评:本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式,以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法.

24.(2014•湘潭,第25题)△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,

(1)求证:△BDF∽△CEF;

(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;

(3)已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF=,求此圆直径.

(第1题图)

考点:

相似形综合题;二次函数的最值;等边三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形

分析:

(1)只需找到两组对应角相等即可.

(2)四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和,借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长,进而可以用含m的代数式表示S,然后通过配方,转化为二次函数的最值问题,就可以解决问题.

(3)易知AF就是圆的直径,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长.

解答:

解:(1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,

∴∠BDF=∠CEF=90°.

∵△ABC为等边三角形,

∴∠B=∠C=60°.

∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,

∴△BDF∽△CEF.

(2)∵∠BDF=90°,∠B=60°,

∴sin60°==,cos60°==.

∵BF=m,

∴DF=m,BD=.

∵AB=4,

∴AD=4﹣.

∴S△ADF=AD•DF

=×(4﹣)×m

=﹣m2+m.

同理:S△AEF=AE•EF

=×(4﹣)×(4﹣m)

=﹣m2+2.

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣(m2﹣4m﹣8)

=﹣(m﹣2)2+3.其中0<m<4.

∵﹣<0,0<2<4,

∴当m=2时,S取最大值,最大值为3.

∴S与m之间的函数关系为:

S═﹣(m﹣2)2+3(其中0<m<4).

当m=2时,S取到最大值,最大值为3.

(3)如图2,

∵A、D、F、E四点共圆,

∴∠EDF=∠EAF.

∵∠ADF=∠AEF=90°,

∴AF是此圆的直径.

∵tan∠EDF=,

∴tan∠EAF=.

∴=.

∵∠C=60°,

∴=tan60°=.

设EC=x,则EF=x,EA=2x.

∵AC=a,

∴2x+x=a.

∴x=.

∴EF=,AE=.

∵∠AEF=90°,

∴AF==.

∴此圆直径长为.

点评:

本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识,综合性强.利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键.

25.(2014•湘潭,第26题)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,直线AC解析式为y=kx+4,

(1)求二次函数解析式;

(2)若=,求k;

(3)若以BC为直径的圆经过原点,求k.

(第2题图)

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)由对称轴为x=﹣,且函数过(0,0),则可推出b,c,进而得函数解析式.

(2)=,且两三角形为同高不同底的三角形,易得=,考虑计算方便可作B,C对x轴的垂线,进而有B,C横坐标的比为=.由B,C为直线与二次函数的交点,则联立可求得B,C坐标.由上述倍数关系,则k易得.

(3)以BC为直径的圆经过原点,即∠BOC=90°,一般考虑表示边长,再用勾股定理构造方程求解k.可是这个思路计算量异常复杂,基本不考虑,再考虑(2)的思路,发现B,C横纵坐标恰好可表示出EB,EO,OF,OC.而由∠BOC=90°,易证△EBO∽△FOC,即EB•FC=EO•FO.有此构造方程发现k值大多可约去,进而可得k值.

解答:

解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过原点,

∴﹣=2,0=0+0+c,

∴b=4,c=0,

∴y=﹣x2+4x.

(2)如图1,连接OB,OC,过点A作AE⊥y轴于E,过点B作BF⊥y轴于F,

∵=,

∴=,

∴=,

∵EB∥FC,

∴==.

∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B,C,

∴kx+4=﹣x2+4x,即x2+(k﹣4)x+4=0,

∴△=(k﹣4)2﹣4•4=k2﹣8k,

∴x=,或x=,

∵xB<xC,

∴EB=xB=,FC=xC=,

∴4•=,

解得k=9(交点不在y轴右边,不符题意,舍去)或k=﹣1.

∴k=﹣1.

(3)∵∠BOC=90°,

∴∠EOB+∠FOC=90°,

∵∠EOB+∠EBO=90°,

∴∠EBO=∠FOC,

∵∠BEO=∠OFC=90°,

∴△EBO∽△FOC,

∴,

∴EB•FC=EO•FO.

∵xB=,xC=,且B、C过y=kx+4,

∴yB=k•+4,yC=k•+4,

∴EO=yB=k•+4,OF=﹣yC=﹣k•﹣4,

∴•=(k•+4)•(﹣k•﹣4),

整理得16k=﹣20,

∴k=﹣.

点评:

本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识.题目特殊,貌似思路不难,但若思路不对,计算异常复杂,题目所折射出来的思想,考生应好好理解掌握.

26.(2014•益阳,第20题,10分)如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P.

(1)求a,k的值;

(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;

(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.

(第3题图)

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A,与y轴交点B的坐标,再将A、B两点坐标代入y=a(x﹣2)2+k,得到关于a,k的二元一次方程组,解方程组即可求解;

(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.在Rt△AQF与Rt△BQE中,用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3﹣m)2,解方程求出m=2,即可求得Q点的坐标;

(3)当点N在对称轴上时,由NC与AC不垂直,得出AC为正方形的对角线,根据抛物线的对称性及正方形的性质,得到M点与顶点P(2,﹣1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,则四边形AMCN为正方形,在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长.

解答:

解:(1)∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,

∴A(1,0),B(0,3).

又∵抛物线抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A(1,0),B(0,3),

∴,解得,

故a,k的值分别为1,﹣1;

(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.

在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,

在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3﹣m)2,

∵AQ=BQ,

∴1+m2=4+(3﹣m)2,

∴m=2,

∴Q点的坐标为(2,2);

(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.

又∵对称轴x=2是AC的中垂线,

∴M点与顶点P(2,﹣1)重合,N点为点P关于x轴的对称点,其坐标为(2,1).

此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,

∴四边形AMCN为正方形.

在Rt△AFN中,AN==,即正方形的边长为.

点评:

本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法,等腰三角形的性质,勾股定理,二次函数的性质,正方形的判定与性质,综合性较强,难度适中.

27.(2014•益阳,第21题,12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.

(1)求AD的长;

(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;

(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.

(第4题图)

考点:

相似形综合题.

分析:

(1)过点C作CE⊥AB于E,根据CE=BC•sin∠B求出CE,再根据AD=CE即可求出AD;

(2)若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,则△PCB必有一个角是直角.分两种情况讨论:①当∠PCB=90°时,求出AP,再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°,得出∠DPA=∠B,从而得到△ADP∽△CPB,②当∠CPB=90°时,求出AP=3,根据≠且≠,得出△PCB与△ADP不相似.

(3)先求出S1=x•,再分两种情况讨论:①当2<x<10时,作BC的垂直平分线交BC于H,交AB于G;作PB的垂直平分线交PB于N,交GH于M,连结BM,在Rt△GBH中求出BG、BN、GN,在Rt△GMN中,求出MN=(x﹣1),在Rt△BMN中,求出BM2=x2﹣x+,最后根据S1=x•BM2代入计算即可.②当0<x≤2时,S2=x(x2﹣x+),最后根据S=S1+S2=x(x﹣)2+x即可得出S的最小值.

解答:

解:(1)过点C作CE⊥AB于E,

在Rt△BCE中,

∵∠B=60°,BC=4,

∴CE=BC•sin∠B=4×=2,

∴AD=CE=2.

(2)存在.若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似,

则△PCB必有一个角是直角.

①当∠PCB=90°时,在Rt△PCB中,BC=4,∠B=60°,PB=8,

∴AP=AB﹣PB=2.

又由(1)知AD=2,在Rt△ADP中,tan∠DPA===,

∴∠DPA=60°,

∴∠DPA=∠CPB,

∴△ADP∽△CPB,

∴存在△ADP与△CPB相似,此时x=2.

②∵当∠CPB=90°时,在Rt△PCB中,∠B=60°,BC=4,

∴PB=2,PC=2,

∴AP=3.

则≠且≠,此时△PCB与△ADP不相似.

(3)如图,因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD,则S1=x•()2=x•,

①当2<x<10时,作BC的垂直平分线交BC于H,交AB于G;

作PB的垂直平分线交PB于N,交GH于M,连结BM.则BM为△PCB外接圆的半径.

在Rt△GBH中,BH=BC=2,∠MGB=30°,

∴BG=4,

∵BN=PB=(10﹣x)=5﹣x,

∴GN=BG﹣BN=x﹣1.

在Rt△GMN中,∴MN=GN•tan∠MGN=(x﹣1).

在Rt△BMN中,BM2=MN2+BN2=x2﹣x+,

∴S1=x•BM2=x(x2﹣x+).

②∵当0<x≤2时,S2=x(x2﹣x+)也成立,

∴S=S1+S2=x•+x(x2﹣x+)=x(x﹣)2+x.

∴当x=时,S=S1+S2取得最小值x.

点评:

此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理,关键是根据题意画出图形构造相似三角形,注意分类讨论.

28.(2014•株洲,第24题,10分)已知抛物线y=x2﹣(k+2)x+和直线y=(k+1)x+(k+1)2.

(1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;

(2)抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,求x1•x2•x3的最大值;

(3)如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且CA•GE=CG•AB,求抛物线的解析式.

(第5题图)

考点:

二次函数综合题

分析:

(1)由判别式△=(k+2)2﹣4×1×=k2﹣k+2=(k﹣)2+>0,即可证得无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;

(2)由抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,可得x1•x2=,x3=﹣(k+1),继而可求得答案;

(3)由CA•GE=CG•AB,易得△CAG∽△CBE,继而可证得△OAD∽△OBE,则可得,又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,可得OA•OB=,OD=,OE=(k+1)2,继而求得点B的坐标为(0,k+1),代入解析式即可求得答案.

解答:

(1)证明:∵△=(k+2)2﹣4×1×=k2﹣k+2=(k﹣)2+,

∵(k﹣)2≥0,

∴△>0,

∴无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;

(2)解:∵抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,

∴x1•x2=,

令0=(k+1)x+(k+1)2,

解得:x=﹣(k+1),

即x3=﹣(k+1),

∴x1•x2•x3=﹣(k+1)•=﹣(k+)2+,

∴x1•x2•x3的最大值为:;

(3)解:∵CA•GE=CG•AB,

∴,

∵∠ACG=∠BCE,

∴△CAG∽△CBE,

∴∠CAG=∠CBE,

∵∠AOD=∠BOE,

∴△OAD∽△OBE,

∴,

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,

∴OA•OB=,OD=,OE=(k+1)2,

∴OA•OB=OD,

∴,

∴OB2=OE,

∴OB=k+1,

∴点B(k+1,0),

将点B代入抛物线y=x2﹣(k+2)x+得:(k+1)2﹣(k+2)(k+1)﹣=0,

解得:k=2,

∴抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3.

点评:

此题属于二次函数的综合题,综合性很强,难度较大,主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

29.(2014年江苏南京,第24题)已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).

(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;

(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?

考点:二次函数和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用

分析:(1)求出根的判别式,即可得出答案;

(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.

(1)证明:∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=4m2﹣4m2﹣12=﹣12<0,

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解,

即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;

(2)解答:y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,

把函数y=(x﹣m)2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x﹣m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),

因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,

所以,把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.

点评:本题考查了二次函数和x轴的交点问题,根的判别式,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.

30.(2014•泰州,第24题,10分)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB=(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.

(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;

(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?

(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?

(第7题图)

考点:

二次函数的应用

分析:

(1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;

(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;

(3)得出yA﹣yB的函数关系式,进而求出最值即可.

解答:

解:(1)由题意可得出:yB=(x﹣60)2+m经过(0,1000),

则1000=(0﹣60)2+m,

解得:m=100,

∴yB=(x﹣60)2+100,

当x=40时,yB=×(40﹣60)2+100,

解得:yB=200,

yA=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则,

解得:,

∴yA=﹣20x+1000;

(2)当A组材料的温度降至120℃时,

120=﹣20x+1000,

解得:x=44,

当x=44,yB=(44﹣60)2+100=164(℃),

∴B组材料的温度是164℃;

(3)当0<x<40时,yA﹣yB=﹣20x+1000﹣(x﹣60)2﹣100=﹣x2+10x=﹣(x﹣20)2+100,

∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.

点评:

此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.

 

31.(2014•扬州,第27题,12分)某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含债务).

(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;

(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数;

(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?

(第8题图)

考点:

二次函数的应用;一次函数的应用.

分析:

(1)根据待定系数法,可得函数解析式;

(2)根据收入等于指出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;

(3)分类讨论40≤x≤58,或58≤x≤71,根据收入减去支出大于或等于债务,可得不等式,根据解不等式,可得答案.

解答:

解:(1)当40≤x≤58时,设y与x的函数解析式为y=k1x+b1,由图象可得

,

解得.

∴y=2x+140.

当58<x≤71时,设y与x的函数解析式为y=k2x+b2,由图象得

,

解得,

∴y=﹣x+82,

综上所述:y=;

(2)设人数为a,当x=48时,y=﹣2×48+140=44,

∴(48﹣40)×44=106+82a,

解得a=3;

(3)设需要b天,该店还清所有债务,则:

b[(x﹣40)•y﹣82×2﹣106]≥68400,

∴b≥,

当40≤x≤58时,∴b≥=,

x=﹣时,﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180,

∴b,即b≥380;

当58<x≤71时,b=,

当x=﹣=61时,﹣x2+122x﹣3550的最大值为171,

∴b,即b≥400.

综合两种情形得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.

点评:

本题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求函数解析式,一次方程的应用,不等式的应用,分类讨论是解题关键.

32.(2014•呼和浩特,第25题12分)如图,已知直线l的解析式为y=x﹣1,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D(1,)三点.

(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;

(2)已知点P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S最大时点P的坐标;

(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)根据待定系数法可求抛物线的解析式,再根据A(m,0)在抛物线上,得到0=﹣m2﹣m+2,解方程即可得到m的值,从而得到A点的坐标;

(2)根据四边形PAFB的面积S=AB•PF,可得S=﹣(x+2)2+12,根据函数的最值可得S的最大值是12,进一步得到点P的坐标为;

(3)根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=﹣x+1,设Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一点,则Q点关于x轴的对称点为(a,1﹣a),将(a,1﹣a)代入y=﹣x+1显然成立,依此即可求解.

解答:

解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点B(2,0),D(1,),

∴,

解得a=﹣,b=﹣,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2,

∵A(m,0)在抛物线上,

∴0=﹣m2﹣m+2,

解得m=﹣4,

∴A点的坐标为(﹣4,0).

如图所示:

(2)∵直线l的解析式为y=x﹣1,

∴S=AB•PF

=×6•PF

=3(﹣x2﹣x+2+1﹣x)

=﹣x2﹣3x+9

=﹣(x+2)2+12,

其中﹣4<x<0,

∴S的最大值是12,此时点P的坐标为(﹣2,2);

(3)∵直线PB经过点P(﹣2,2),B(2,0),

∴PB所在直线的解析式为y=﹣x+1,

设Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一点,

则Q点关于x轴的对称点为(a,1﹣a),

将(a,1﹣a)代入y=﹣x+1显然成立,

∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.

点评:

本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,函数的最值问题,四边形的面积求法,以及关于x轴的对称点的坐标特征.

33.(2014•滨州,第23题9分)已知二次函数y=x2﹣4x+3.

(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;

(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.

考点:

抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;二次函数的三种形式

分析:

(1)配方后求出顶点坐标即可;

(2)求出A、B的坐标,根据坐标求出AB、CD,根据三角形面积公式求出即可.

解答:

解:(1)y=x2﹣4xx+3

=x2﹣4x+4﹣4+3

=(x﹣2)2﹣1,

所以顶点C的坐标是(2,﹣1),

当x≤2时,y随x的增大而减少;

当x>2时,y随x的增大而增大;

(2)解方程x2﹣4x+3=0得:x1=3,x2=1,

即A点的坐标是(1,0),B点的坐标是(3,0),

过C作CD⊥AB于D,

∵AB=2,CD=1,

∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1.

点评:

本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的三种形式的应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较典型,难度适中.

34.(2014•德州,第24题12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)根据A的坐标,即可求得OA的长,则B、C的坐标即可求得,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;

(2)分点A为直角顶点时,和C的直角顶点两种情况讨论,根据OA=OC,即可列方程求解;

(3)据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短,根据等腰三角形的性质,D是AC的中点,则DF=OC,即可求得P的纵坐标,代入二次函数的解析式,即可求得横坐标,得到P的坐标.

解答:

解:(1)由A(4,0),可知OA=4,

∵OA=OC=4OB,

∴OA=OC=4,OB=1,

∴C(0,4),B(﹣1,0).

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x,

则,

解得:,

则抛物线的解析式是:y=﹣x2+3x+4;

(2)存在.

第一种情况,当以C为直角顶点时,过点C作CP1⊥AC,交抛物线于点P1.过点P1作y轴的垂线,垂足是M.

∵∠ACP1=90°,

∴∠MCP1+∠ACO=90°.

∵∠ACO+∠OAC=90°,

∴∠MCP1=∠OAC.

∵OA=OC,

∴∠MCP1=∠OAC=45°,

∴∠MCP1=∠MP1C,

∴MC=MP1,

设P(m,﹣m2+3m+4),则m=﹣m2+3m+4﹣4,

解得:m1=0(舍去),m2=2.

∴﹣m2+3m+4=6,

即P(2,6).

第二种情况,当点A为直角顶点时,过A作AP2,AC交抛物线于点P2,过点P2作y轴的垂线,垂足是N,AP交y轴于点F.

∴P2N∥x轴,

由∠CAO=45°,

∴∠OAP=45°,

∴∠FP2N=45°,AO=OF.

∴P2N=NF,

设P2(n,﹣n2+3n+4),则n=(﹣n2+3n+4)﹣1,

解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),

∴﹣n2+3n+4=﹣6,

则P2的坐标是(﹣2,﹣6).

综上所述,P的坐标是(2,6)或(﹣2,﹣6);

(3)连接OD,由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.

根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.

由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,

则AC==4,

根据等腰三角形的性质,D是AC的中点.

又∵DF∥OC,

∴DF=OC=2,

∴点P的纵坐标是2.

则﹣x2+3x+1=2,

解得:x=,

∴当EF最短时,点P的坐标是:(,0)或(,0).

点评:

本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式,以及等腰三角形的性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.

35.(2014•菏泽,第21题10分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9.

(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴总有两个交点;

(2)该抛物线与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,且OA<OB,与y轴的交点坐标为(0,﹣5),求此抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴与x轴的交点为N,若点M是线段AN上的任意一点,过点M作直线MC⊥x轴,交抛物线于点C,记点C关于抛物线对称轴的对称点为D,点P是线段MC上一点,且满足MP=MC,连结CD,PD,作PE⊥PD交x轴于点E,问是否存在这样的点E,使得PE=PD?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)令y=0,则x2﹣2mx+m2﹣9=0,根据根的判别式b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4(m2﹣9)=36>0,所以无论m为何值,该抛物线与x轴总有两个交点.

(2)直接将C点(0,﹣5)代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根据抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,且OA<OB),求出m的值即可;

(3)假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD.再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC,EM=PC,设C(x0,y0),则D(4﹣x0,y0),P(x0,y0).根据PM=DC就有|2x0﹣4|=﹣y0,由C点在抛物线上有|2x0﹣4|=﹣(x02﹣4x0﹣5),分两种情况求出x0的值就可以得出结论.

解答:

解:(1)令y=0,则x2﹣2mx+m2﹣9=0,∵△=(﹣2m)2﹣4m2+36>0,

∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根,

∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上,顶点在x轴的下方,

∴该抛物线与x轴总有两个交点.

(2)∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为(0,﹣5),

∴﹣5=m2﹣9.

解得:m=±2.

当m=﹣2,y=0时,x2+4x﹣5=0

解得:x1=﹣5,x2=1,

∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,且OA<OB),

∴m=﹣2不符合题意,舍去.

∴m=2.

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5;

(3)如图2,假设E点存在,

∵MC⊥EM,CD⊥MC,

∴∠EMP=∠PCD=90°.

∴∠MEP+∠MPE=90°

∵PE⊥PD,

∴∠EPD=90°,

∴∠MPE+∠DPC=90°

∴∠MEP=∠CPD.

在△EMP和△PCD中,

,

∴△EPM≌△PDC(AAS).

∴PM=DC,EM=PC

设C(x0,y0),则D(4﹣x0,y0),P(x0,y0).

∴|2x0﹣4|=﹣y0.

∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上;

∴y0═x02﹣4x0﹣5

∴|2x0﹣4|=﹣(x02﹣4x0﹣5).

当2x0﹣4=﹣(x02﹣4x0﹣5)时,

解得:x01=3,x02=﹣7(舍去),

当4﹣2x0=﹣(x02﹣4x0﹣5)时,

解得:x03=1,x04=11(舍去),

∴x0=1或x0=3.

∴P(1,﹣2)或P(3,﹣2).

∴PC=6.∴ME=PC=6.

∴E(7,0)或E(﹣3,0).

点评:

本题是一道二次函数的综合试题,考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况,以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用,全等三角形的判定及性质的运用,直角三角形的性质的运用,解答时先运用待定系数法求出解析式是关键,解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点.

36.(2014•济宁,第22题11分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;

(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:

二次函数综合题.

分析:

(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2)首先求出对称点A′的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A′是否在抛物线上.本问关键在于求出A′的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A′的坐标;

(3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.

解答:

解:(1)∵y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,

∴,

解得.

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣.

(2)如答图所示,过点A′作A′E⊥x轴于E,AA′与OC交于点D,

∵点C在直线y=2x上,∴C(5,10)

∵点A和A′关于直线y=2x对称,

∴OC⊥AA′,A′D=AD.

∵OA=5,AC=10,

∴OC===.

∵S△OAC=OC•AD=OA•AC,

∴AD=.

∴AA′=,

在Rt△A′EA和Rt△OAC中,

∵∠A′AE+∠A′AC=90°,∠ACD+∠A′AC=90°,

∴∠A′AE=∠ACD.

又∵∠A′EA=∠OAC=90°,

∴Rt△A′EA∽Rt△OAC.

∴,即.

∴A′E=4,AE=8.

∴OE=AE﹣OA=3.

∴点A′的坐标为(﹣3,4),

当x=﹣3时,y=×(﹣3)2+3﹣=4.

所以,点A′在该抛物线上.

(3)存在.

理由:设直线CA′的解析式为y=kx+b,

则,解得

∴直线CA′的解析式为y=x+…(9分)

设点P的坐标为(x,x2﹣x﹣),则点M为(x,x+).

∵PM∥AC,

∴要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方,

∴(x+)﹣(x2﹣x﹣)=10.

解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去)

当x=2时,y=﹣.

∴当点P运动到(2,﹣)时,四边形PACM是平行四边形.

点评:

本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问的要点是求对称点A′的坐标,第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.

37.(2014年山东泰安,第29题)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).

(1)求二次函数的表达式;

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;

(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.

分析:(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;

(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解;

(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标.

解:(1)由题设可知A(0,1),B(﹣3,),

根据题意得:,解得:,

则二次函数的解析式是:y=﹣﹣x+1;

(2)设N(x,﹣x2﹣x+1),则M、P点的坐标分别是(x,﹣x+1),(x,0).

∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x=﹣(x+)2+,

则当x=﹣时,MN的最大值为;

(3)连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分,

即四边形BCMN是菱形,由于BC∥MN,即MN=BC,且BC=MC,

即﹣x2﹣x=,且(﹣x+1)2+(x+3)2=,解得:x=1,

故当N(﹣1,4)时,MN和NC互相垂直平分.

点评:本题是待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用,利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题.

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