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时间:2020-10-01 03:26  编辑:陇西电力公司

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2016-2017学年安徽省铜陵一中高二(上)期中数学试卷(理科)

 

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1.(5分)直线的倾斜角是(  )

A.30°B.120°C.60°D.150°

2.(5分)直线2x+y+1=0与圆(x+1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是(  )

A.相交B.相切C.相离D.不确定

3.(5分)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是(  )

A.B.1C.D.

4.(5分)若直线过点P(11,1)且在两坐标轴上的截距相等,则这样的直线有(  )

A.1条B.2条C.3条D.以上都有可能

5.(5分)在空间直角坐标系中,点P(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标是(  )

A.(1,3,﹣6)B.(﹣1,3,﹣6)C.(﹣1,﹣3,6)D.(1,﹣3,﹣6)

6.(5分)已知m、n是两条不同直线,α、β、γ是三个不同平面,以下有三种说法:

①若α∥β,β∥γ,则γ∥α;②若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β;

③若m⊥β,m⊥n,n⊊β,则n∥β.

其中正确命题的个数是(  )

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.(5分)圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半,则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为(  )

A.1:(﹣1)B.1:2C.1:D.1:4

8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于(  )

A.B.C.D.

9.(5分)光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为(  )

A.B.C.D.

10.(5分)不论m为何实数,直线(2m+1)x+(m+1)y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点,则实数a的取值范围是(  )

A.﹣2≤a≤2B.0≤a≤2C.﹣1≤a≤3D.1≤a≤3

11.(5分)如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点,现将△AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为(  )

A.B.C.D.

12.(5分)三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上,且AB=BC=CA=2,平面PAB⊥平面ABC,则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为(  )

A.4B.3C.4D.3

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(5分)一长方体的各顶点均在同一个球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,,3,则这个球的表面积为  .

14.(5分)过点P(1,0),且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点,则该圆标准方程为  .

15.(5分)直线l1:x+y+1=0与l2:2x+2y+3=0的距离是  .

16.(5分)如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法正确的是  .(填序号)

①MB∥平面A1DE;

②|BM|是定值;

③A1C⊥DE.

 

三、解答题:本大题共6小题,共70分.(17题10分,18,19,20,21,22每题12分)

17.(10分)如图所示,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°,求该三棱柱的体积.

18.(12分)已知直线l:y=4x和点P(6,4),点A为第一象限内的点且在直线l上,直线PA交x轴正半轴于点B,

(1)当OP⊥AB时,求AB所在直线的直线方程;

(2)求△OAB面积的最小值,并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标.

19.(12分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证:VB∥平面MOC;

(2)求证:平面MOC⊥平面VAB

(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.

20.(12分)已知圆C经过原点O,与x轴另一交点的横坐标为4,与y轴另一交点的纵坐标为2,

(1)求圆C的方程;

(2)已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.

21.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC,

(1)求证:AC⊥平面DEF;

(2)求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.

22.(12分)已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.

(1)求直线l1的方程;

(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.

 

2016-2017学年安徽省铜陵一中高二(上)期中数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1.(5分)直线的倾斜角是(  )

A.30°B.120°C.60°D.150°

【解答】解:∵直线的斜率为﹣=,设直线的倾斜角是θ,则有tanθ=.

又θ∈[0,π),∴θ=150°,

故选:D.

 

2.(5分)直线2x+y+1=0与圆(x+1)2+(y﹣1)2=1的位置关系是(  )

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【解答】解:由于圆心(﹣1,1)到直线2x+y+1=0的距离为d==0,小于半径,

故直线和圆相交,

故选:A.

 

3.(5分)如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是(  )

A.B.1C.D.

【解答】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2,

∴直角三角形的直角边长是,

∴直角三角形的面积是,

∴原平面图形的面积是1×2=2

故选:D.

 

4.(5分)若直线过点P(11,1)且在两坐标轴上的截距相等,则这样的直线有(  )

A.1条B.2条C.3条D.以上都有可能

【解答】解:①当此直线经过原点时,k=,此时直线方程为y=x;

②当此直线不经过原点时,设直线方程为x+y=a,把点(11,1)代入得a=12,∴直线方程为x+y=12.

综上可知:满足条件的方程有且仅有两条.

故选:B.

 

5.(5分)在空间直角坐标系中,点P(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标是(  )

A.(1,3,﹣6)B.(﹣1,3,﹣6)C.(﹣1,﹣3,6)D.(1,﹣3,﹣6)

【解答】解:设p(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标为(x,y,z),

则x=1,y=﹣3,z=﹣6,

所以对称点的坐标为(1,﹣3,﹣6).

故选:D.

 

6.(5分)已知m、n是两条不同直线,α、β、γ是三个不同平面,以下有三种说法:

①若α∥β,β∥γ,则γ∥α;②若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β;

③若m⊥β,m⊥n,n⊊β,则n∥β.

其中正确命题的个数是(  )

A.3个B.2个C.1个D.0个

【解答】解:由平行的传递性知若α∥β,β∥γ,则γ∥α,故①正确,

两个平行平面有一个和第三个平面垂直,则另一个也与第三个平面垂直,

即若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β,故②正确,

当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时,

线面之间的关系是平行或在平面上

即m⊥β,m⊥n,n⊊β,则n∥β,故③正确,

总上可知有3个命题正确,

故选:A.

 

7.(5分)圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半,则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为(  )

A.1:(﹣1)B.1:2C.1:D.1:4

【解答】解:根据面积比是对应边之比的平方得,此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比是1:,

∴此截面分圆锥的高为上、下两段的比为1:(﹣1).

故选:A.

 

8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E为CC1的中点,那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于(  )

A.B.C.D.

【解答】解:取BC的中点F,连接EF,OF,BC1,如图所示:

∵E为CC1的中点,EF∥BC1∥AD1,

故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,

则在△OEF中,EF=,OE=

故cos∠OEF==

故选:D.

 

9.(5分)光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为(  )

A.B.C.D.

【解答】解:直线y=2x+1与y=x的交点为(﹣1,﹣1),

又直线y=2x+1与y轴的交点(0,1)被y=x反射后,经过(1,0)

所以反射后的光线所在的直线方程为:

故选:B.

 

10.(5分)不论m为何实数,直线(2m+1)x+(m+1)y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点,则实数a的取值范围是(  )

A.﹣2≤a≤2B.0≤a≤2C.﹣1≤a≤3D.1≤a≤3

【解答】解:直线(2m+1)x+(m+1)y﹣m﹣1=0过(0,1)点的直线系,

曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心(a,0),半径为:,

直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点,必须定点在圆上或圆内,

即:,所以,﹣1≤a≤3

故选:C.

 

11.(5分)如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点,现将△AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为(  )

A.B.C.D.

【解答】解:由题意,将△AED沿AE折起,使平面AED⊥平面ABC,在平面AED内过点D作DK⊥AE,K为垂足,由翻折的特征知,连接D'K,

则D'KA=90°,故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧,根据长方形知圆半径是,

如图当E与C重合时,AK==,

取O为AD′的中点,得到△OAK是正三角形.

故∠K0A=,∴∠K0D'=,

其所对的弧长为=,

故选:D.

 

12.(5分)三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上,且AB=BC=CA=2,平面PAB⊥平面ABC,则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为(  )

A.4B.3C.4D.3

【解答】解:根据题意:半径为2的球面上,且AB=BC=CA=2,

△ABC为截面为大圆上三角形,

设圆形为O,AB的中点为N,ON═=1

∵平面PAB⊥平面ABC,

∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时,PN⊥AB,PN⊥平面ABC,

PN==,

∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×(2)2×=3,

故选:B.

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(5分)一长方体的各顶点均在同一个球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,,3,则这个球的表面积为 16π .

【解答】解:由题意可知长方体的对角线的长,就是外接球的直径,

所以球的直径:=4,所以外接球的半径为:2.

所以这个球的表面积:4π×22=16π.

故答案为:16π.

 

14.(5分)过点P(1,0),且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点,则该圆标准方程为 x2+(y﹣1)2=2 .

【解答】解:联立直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0,解得x=0,y=1

∴圆的圆心为(0,1),

∴圆的半径为

∴圆的标准方程为x2+(y﹣1)2=2.

故答案为:x2+(y﹣1)2=2.

 

15.(5分)直线l1:x+y+1=0与l2:2x+2y+3=0的距离是  .

【解答】解:把l2:2x+2y+3=0化为.

∵l1∥l2,

∴l1与l2的距离d==.

故答案为:.

 

16.(5分)如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法正确的是 ①② .(填序号)

①MB∥平面A1DE;

②|BM|是定值;

③A1C⊥DE.

【解答】解:取CD中点F,连接MF,BF,则MF∥DA1,BF∥DE,

∴平面MBF∥平面A1DE,

∴MB∥平面A1DE,

故①正确.

由∠A1DE=∠MNB,MN=A1D=定值,NB=DE=定值,

由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB,

所以MB是定值,故②正确.

∵A1C在平面ABCD中的射影为AC,AC与DE不垂直,

∴故③不正确.

故答案为:①②.

 

三、解答题:本大题共6小题,共70分.(17题10分,18,19,20,21,22每题12分)

17.(10分)如图所示,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=6,异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°,求该三棱柱的体积.

【解答】解:在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵CC1∥AA1.

∴∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角,即∠BC1C=30°.

在Rt△BCC1中,

BC=CC1•tan∠BC1C=6×=2,

从而S△ABC=BC2•sin60°=3,

因此该三棱柱的体积V=S△ABC•AA1=3×6=18.

 

18.(12分)已知直线l:y=4x和点P(6,4),点A为第一象限内的点且在直线l上,直线PA交x轴正半轴于点B,

(1)当OP⊥AB时,求AB所在直线的直线方程;

(2)求△OAB面积的最小值,并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标.

【解答】解:(1)∵点P(6,4),∴kOP=,

∵OP⊥AB,∴kAB=,

∵AB过点P(6,4),

∴AB的方程为y﹣4=(x﹣6)

化为一般式可得:3x+2y﹣26=0

(2)设点A(a4a),a>0,点B坐标为(b,0),b>0,

则直线PA的斜率为=,解得b=,故B的坐标为(,0),

故△OAB面积为S=××4a=,即10a2﹣Sa+S=0.

由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解,故判别式△=S2﹣40S≥0,S≥40,

故S的最小值等于40,此时方程为a2﹣4a+4=0,解得a=2.

综上可得,△OAB面积的最小值为40,

当△OAB面积取最小值时点B的坐标为(10,0).

 

19.(12分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证:VB∥平面MOC;

(2)求证:平面MOC⊥平面VAB

(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.

【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,

∴OM∥VB,

∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,

∴VB∥平面MOC;

(2)∵AC=BC,O为AB的中点,

∴OC⊥AB,

∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,

∴OC⊥平面VAB,

∵OC⊂平面MOC,

∴平面MOC⊥平面VAB

(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,

∴S△VAB=,

∵OC⊥平面VAB,

∴VC﹣VAB=•S△VAB=,

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=.

 

20.(12分)已知圆C经过原点O,与x轴另一交点的横坐标为4,与y轴另一交点的纵坐标为2,

(1)求圆C的方程;

(2)已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.

【解答】解:(1)∵圆C经过原点O,与x轴另一交点的横坐标为4,与y轴另一交点的纵坐标为2,

即点A(4,0),B(0,2)是圆的一条直径,

则圆心坐标为(2,1).半径r=,

则圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.

(2)点B关于直线l:x+y+2=0的对称点为B′(﹣4,﹣2),

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,

又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r,

∴|PB|+|PQ|的最小值为,

直线B′C的方程为y=,

则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足,

解得,即P(﹣,﹣).

 

21.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC,

(1)求证:AC⊥平面DEF;

(2)求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.

【解答】证明:(1)取AC的中点H,

∵AB=BC,∴BH⊥AC.

∵AF=3FC,∴F为CH的中点.

而E为BC的中点,∴EF∥BH.∴EF⊥AC.

∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.

∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.

∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.

∵AC⊂平面ABC,∴DE⊥AC.

而DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.

解:(2)取AC中点G,以E为原点,EC为x轴,EG为y轴,ED为z轴,

建立空间直角系,设AB=BC=2,

则E(0,0,0),C(1,0,0),A(﹣1,2,0),F(,,0),

B(﹣1,0,0),D(0,0,),

=(,0),=(0,0,),

设平面EFP的法向量=(x,y,z),

则,取x=1,得=(1,﹣1,0),

设平面ABD的法向量=(a,b,c),

=(0,﹣2,0),=(1,﹣2,),

,取c=1,得=(),

设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ,

则cosθ===.

∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为.

 

22.(12分)已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.

(1)求直线l1的方程;

(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.

【解答】解:(1)由题意,可设直线l1的方程为y=k(x﹣3),

即kx﹣y﹣3k=0…(2分)

又点O(0,0)到直线l1的距离为,解得,

所以直线l1的方程为,

即或…(5分)

(2)对于圆O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(﹣1,0),Q(1,0).

又直线l2方程为x=3,设M(s,t),则直线PM方程为.

解方程组,得,

同理可得:.…(9分)

所以圆C的圆心C的坐标为,半径长为,

又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为,半径长.

所以圆C的方程为,…(11分)

即=0

即,

又s2+t2=1

故圆C的方程为,

令y=0,则(x﹣3)2=8,

所以圆C经过定点,y=0,则x=,

所以圆C经过定点且定点坐标为(15分)

 

赠送初中数学几何模型

【模型一】

“一线三等角”模型:

图形特征:

运用举例:

1.如图,若点B在x轴正半轴上,点A(4,4)、C(1,-1),且AB=BC,AB⊥BC,求点B的坐标;

2.如图,在直线上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、、、,则.

3.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不与点B,C重合),过D作∠ADE=45°,DE交AC于E.

(1)求证:△ABD∽△DCE;

(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

4.如图,已知直线与y轴交于点A,与轴交于点D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;

(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标。

5.如图,已知正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,点M在线段BF上(不与点B重合),连接EM,将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN,连接FN.

(1)特别地,当点M为线段BF的中点时,通过观察、测量、推理等,猜想:NFC= °,= ;

(2)一般地,当M为线段BF上任一点(不与点B重合)时,(1)中的猜想是否仍然成立?请说明理由;

(3)进一步探究:延长FN交CD于点G,求的值

6..如图,矩形AOBC中,C点的坐标为(4,3),,F是BC边上的一个动点(不与B,C重合),过F点的反比例函数(k>0)的图像与AC边交于点E。

(1)若BF=1,求△OEF的面积;

(2)请探索:是否在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出点k的值;若不存在,请说明理由

。

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