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时间:2020-05-29 11:58  编辑:千阳猪肉价格

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求函数值域方法

(1)、直接法:从自变量的范围出发,推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。

例1:求函数的值域。

例2:求函数的值域。

例3:求函数的值域。

解:∵,∴,

∴函数的值域为。

(2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1:求函数()的值域。

解:,

∵,∴,∴

∴,∴

∴函数()的值域为。

(3).最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例1求函数y=3-2x-x2的值域。

解:由3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1]。函数y在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x-x2的最大值为4,最小值为0。

  ∴函数的值域是[0,2]

例2:求函数,的值域。

(4)、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

解:由解得,

∵,∴,∴

∴函数的值域为。

(5)、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。

例1:求函数的值域。

解:∵,

∵,∴,

∴函数的值域为。

(6)、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。

解:令(),则,

∵当,即时,,无最小值。

∴函数的值域为。

(7)、判别式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域,形如(、不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。

解:由变形得,

当时,此方程无解;

当时,∵,∴,

解得,又,∴

∴函数的值域为

(8)、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。

解:∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,

∴函数在定义域上是增函数。

∴,

∴函数的值域为。

例2.求函数在区间上的值域。

分析与解答:任取,且,则

,因为,所以:,

当时,,则;

当时,,则;而当时,

于是:函数在区间上的值域为。

构造相关函数,利用函数的单调性求值域。

分析与解答:因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调增。,,,,

又,所以:,。

(9)、基本不等式法

利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取成立的条件.

例1求函数的值域.

解答:,当且仅当时成立.故函数的值域为.

此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2求函数的值域.

解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:

,(2)

将上面等式的左边展开,有:

,

故而,.

解得,.

从而原函数;

ⅰ)当时,,,此时,等号成立,当且仅当.

ⅱ)当时,,,此时有

,

等号成立,当且仅当.

综上,原函数的值域为:.

不等式法

利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例3.求函数的值域。

解:原函数变形为:

当且仅当

即当时,等号成立

故原函数的值域为:

例4.求函数的值域。

解:

当且仅当,即当时,等号成立。

由可得:

故原函数的值域为:

(10)、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得

,

∵,∴(,),

∴,∴,

∴函数的值域为

形如可解出Yr范围,从而求出其值域或最值。

例2.求函数的值域

[解析]:函数的有界性

由得

例3:求函数的值域。

例4:求函数的值域。

(11)、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。

解:∵,

∴的图像如图所示,

由图像知:函数的值域为

以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。

根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

  例2:求函数的值域。

  点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

  解:原函数变形为

  作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位

正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,

KC=。

  由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5}。

例3.如例4求函数的值域。

分析与解答:令,,则,,,

原问题转化为:当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。

由图1知:当经过点时,;

当直线与圆相切时,。

所以:值域为

例4.求函数的值域。

解:将函数变形为:

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。

即:

由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有

即:

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有

综上所述,可知函数的值域为:

注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。

(12)、复合函数法:对函数,先求的值域充当的定义域,从而求出的值域的方法。

例1、求函数的值域

(复合函数法)设,

例2:求函数的值域。

(13)、非负数法

根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数的值域。(2)求函数的值域。

解析:(1),

故所求函数的值域为。

(2),原函数可化为,即,当时,,,,解得

又,所以,

故所求函数的值域为。

(不等式性质法)

例2:求下列函数的值域:

(1)y=;(2)y=;(3)y=

(4)y=10-;(2)y=;(3)y=

(14)、导数法

若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.

例1:求函数在内的值域.

分析:显然在可导,且.由得的极值点为.

..

所以,函数的值域为.

(15)、“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题.

1.适合采用“平方开方法”的函数特征

设()是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征:

(1)的值总是非负,即对于任意的,恒成立;

(2)具有两个函数加和的形式,即();

(3)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即

(,为常数),

其中,新函数()的值域比较容易求得.

2.“平方开方法”的运算步骤

若函数()具备了上述的三个特征,则可以将先平方、再开方,从而得到(,为常数).然后,利用的值域便可轻易地求出的值域.例如,则显然.

3.应用“平方开方法”四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1求函数(,)的值域.

解:首先,当时,;

其次,是函数与的和;

最后,

可见,函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域为.于是,的值域为.

例2求函数(,,)的值域.

解:显然,该题就是例1的推广,且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域仍为.于是,的值域也仍为.

例3求函数()的值域.

解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().易知,的值域为.于是,的值域为.

例4求函数()的值域.

解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().易知,的值域为.于是,的值域为.

例5求函数的值域

解:(平方法)函数定义域为:

平方法)函数定义域为:

(16).一一映射法

原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。

例1.求函数的值域。

解:∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

多种方法综合运用

例1求函数的值域。

解:令,则

(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以

(2)当t=0时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

注:先换元,后用不等式法

例2.求函数的值域。

解:

令,则

∴当时,

当时,

此时都存在,故函数的值域为

例3.求函数的值域

解:(图象法)如图,值域为

例4.求函数的值域

解:(复合函数法)令,则

由指数函数的单调性知,原函数的值域为

例5.求函数的值域

解:(三角代换法)设

小结:(1)若题目中含有,则可设

(2)若题目中含有

则可设,其中

(3)若题目中含有,则可设,其中

(4)若题目中含有,则可设,其中

(5)若题目中含有,

则可设

其中

例6、求函数的值域

解法一:(逆求法)

解法二:(复合函数法)设,

解法三:(判别式法)原函数可化为

1)时不成立

2)时,

综合1)、2)值域

解法四:(三角代换法)设,则

原函数的值域为

小结:已知分式函数,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为

的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

。

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