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时间:2020-06-24 16:14  编辑:平南二手房

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求数列通项公式的常见几种方法

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数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法,供大家参考:

一、观察法

例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:

(1),,,,…

(2)

(3)

(4)

解:(1)变形为:,,,,……

∴通项公式为:

(2)(3)(4).

点评:观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系。

二、公式法

例2:已知数列是公差为的等差数列,数列是公比为的()的等比数列,若函数,且,,,,

(1)求数列和的通项公式;

解:(1)∵,,

∴,∴,

∴;又,,

∴,由,得,

∴。

点评:当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。

三、由的前项和与间的关系,求通项

已知数列的通项公式,可以求出的前项和;反过来,

若已知的前项和,如何求呢?

,

当时,;当时,,

此处应注意并非对所有的都成立,而只对当且为正整数时成

立,因此由求时必须分和两种情况进行讨论.

例3:设数列的前项和,求数列的通项公式.

解:当时,;

当时,.

此式对也适用.

点评:利用数列的前项和求数列的通项公式时,要注意是否也满足

得出的表达式,若不满足,数列的通项公式就要用分段形式写出.

四、两式相减或相除,消项求通项

例4:数列满足,求.

解:,

两式相减,得..

又时,也适合上式,.

例5:数列中,,且满足,求.

解:,

两式相除,得

当时,,上式不符合,故

五、待定系数法

例6:设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若,,,,求通项公式.

解:设

点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列:则,(b、c为常数),若数列为等比数列,则,。

六、利用递推关系,求通项公式

  根据题目中所给的递推关系,可构造等差数列或采取叠加,叠乘的方法,消去中间项求通项公式.

1、型(d为常数)

形如的递推数列求通项公式,将此类数列变形得,再由

等差数列的通项公式可求得.

例7:已知数列中,求的通项公式.

解:∵∴

∴是以为首项,为公差的等差数列.

∴为所求的通项公式.

2、型

形如的递推数列求通项公式,可用差分法.

例8:已知数列中满足,,求的通项公式.

解:作差,则

,,,……,,

将上面n-1个等式相加得

∴为所求的通项公式.

3、型

形如的递推数列求通项公式,将此类数列变形得

,再由等比数列的通项公式可求得.

例9:已知数列中满足,,求的通项公式.

解:∵∴

∴是以为首项,为公比的等比数列.

∴为所求的通项公式.

4、型

形如的递推数列求通项公式,可用累乘法.

例10:已知数列中满足,,求的通项公式.

解:∵∴.

∴为所求的通项公式.

5、型(c,d为常数)

形如的递推数列求通项公式,可通过适当换元,转换成等比数列或等差数列求解.

例11:已知中且求此数列的通项公式.

解:,则.与进行比较,可得,则有.

设,则有.

∴是以为首项,为公比的等比数列

,∴

6、型(k为常数)

形如的递推数列求通项公式,可对已知递推式适当变形,通过累加

或累积求得通项.

例12:已知数列中,,,求.

解法一:将原递推式化作:,则

数列是以首项为,公比为的等比数列.

,

解法二:将原递推式化作:,则

两式相减得:∴数列{}是以首项为,公比为的等比数列.∴,又

.

7、型(c,d为常数)

形如的递推数列求通项公式,可通过适当换元,转换成等比数列或等差数列求解.

例13:已知数列,,,,求.

解:∵

∴{}是以为公比,为首项的等比数列.

评注:可以变形为,则可从,,解得,,于是是公比为的等比数列,这样就可转化为类型六进行求解.

小结:等差数列或等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,也是高考考查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力,这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说,把不同的递推公式,经过相应的变形手段,转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.

。

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