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猫咪大香蕉伊在线

时间:2020-07-01 21:49  编辑:改则宾馆

猫咪大香蕉伊在线

2015年四川省高考数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1.(5分)(2015•四川)设集合A={x|﹣1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=(  )

 

A.

{x|﹣1<x<3}

B.

{x|﹣1<x<1}

C.

{x|1<x<2}

D.

{x|2<x<3}

考点:

并集及其运算.菁优网版权所有

专题:

集合.

分析:

直接利用并集求解法则求解即可.

解答:

解:集合A={x|﹣1<x<2},集合B={x|1<x<3},

则A∪B={x|﹣1<x<3}.

故选:A.

点评:

本题考查并集的求法,基本知识的考查.

 

2.(5分)(2015•四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=(  )

 

A.

2

B.

3

C.

4

D.

6

考点:

平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有

专题:

平面向量及应用.

分析:

利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x.

解答:

解;因为向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,

所以4x=2×6,解得x=3;

故选:B.

点评:

本题考查了向量共线的坐标关系;如果两个向量向量=(x,y)与向量=(m,n)共线,那么xn=yn.

 

3.(5分)(2015•四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是(  )

 

A.

抽签法

B.

系统抽样法

C.

分层抽样法

D.

随机数法

考点:

收集数据的方法.菁优网版权所有

专题:

应用题;概率与统计.

分析:

若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.

解答:

解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,

而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,这种方式具有代表性,比较合理.

故选:C.

点评:

本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.

 

4.(5分)(2015•四川)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的(  )

 

A.

充要条件

B.

充分不必要条件

 

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

考点:

充要条件.菁优网版权所有

专题:

简易逻辑.

分析:

先求出log2a>log2b>0的充要条件,再和a>b>1比较,从而求出答案.

解答:

解:若log2a>log2b>0,则a>b>1,

故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件,

故选:A.

点评:

本题考察了充分必要条件,考察对数函数的性质,是一道基础题.

 

5.(5分)(2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )

 

A.

y=cos(2x+)

B.

y=sin(2x+)

 

C.

y=sin2x+cos2x

D.

y=sinx+cosx

考点:

两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有

专题:

三角函数的图像与性质.

分析:

求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.

解答:

解:

y=cos(2x+)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确

y=sin(2x+)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确;

y=sin2x+cos2x=sin(2x+),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确;

y=sinx+cosx=sin(x+),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确;

故选:A.

点评:

本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力.

 

6.(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

程序框图.菁优网版权所有

专题:

图表型;算法和程序框图.

分析:

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5时满足条件k>4,计算并输出S的值为.

解答:

解:模拟执行程序框图,可得

k=1

k=2

不满足条件k>4,k=3

不满足条件k>4,k=4

不满足条件k>4,k=5

满足条件k>4,S=sin=,

输出S的值为.

故选:D.

点评:

本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.

 

7.(5分)(2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )

 

A.

B.

2

C.

6

D.

4

考点:

双曲线的简单性质.菁优网版权所有

专题:

圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标,即可求解|AB|.

解答:

解:双曲线x2﹣=1的右焦点(2,0),渐近线方程为y=,

过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2,

可得yA=2,yB=﹣2,

∴|AB|=4.

故选:D.

点评:

本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用.

 

8.(5分)(2015•四川)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是(  )

 

A.

16小时

B.

20小时

C.

24小时

D.

28小时

考点:

指数函数的实际应用.菁优网版权所有

专题:

函数的性质及应用.

分析:

由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系,由已知构造方程组求出ek,eb的值,运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可.

解答:

解:y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).

当x=0时,eb=192,

当x=22时e22k+b=48,

∴e16k==

e11k=

eb=192

当x=33时,e33k+b=(ek)33•(eb)=()3×192=24

故选:C

点评:

本题考查的知识点是函数解析式的运用,列出方程求解即可,注意整体求解.

 

9.(5分)(2015•四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为(  )

 

A.

B.

C.

12

D.

16

考点:

简单线性规划.菁优网版权所有

专题:

不等式的解法及应用.

分析:

作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可.

解答:

解:作出不等式组对应的平面区域如图;

则动点P在BC上运动时,xy取得最大值,

此时2x+y=10,

则xy==,

当且仅当2x=y=5,

即x=,y=5时,取等号,

故xy的最大值为,

故选:A

点评:

本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

 

10.(5分)(2015•四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )

 

A.

(1,3)

B.

(1,4)

C.

(2,3)

D.

(2,4)

考点:

抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系.菁优网版权所有

专题:

综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=±2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论.

解答:

解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则

斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2,利用点差法可得ky0=2,

因为直线与圆相切,所以=﹣,所以x0=3,

即M的轨迹是直线x=3,

代入抛物线方程可得y=±2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,

所以2<r<4时,直线l有2条;

斜率不存在时,直线l有2条;

所以直线l恰有4条,2<r<4,

故选:D.

点评:

本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.(5分)(2015•四川)设i是虚数单位,则复数i﹣= 2i .

考点:

复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有

专题:

数系的扩充和复数.

分析:

直接利用复数的运算法则求解即可.

解答:

解:复数i﹣=i﹣=i+i=2i.

故答案为:2i.

点评:

本题考查复数的基本运算,考查计算能力.

 

12.(5分)(2015•四川)lg0.01+log216的值是 2 .

考点:

对数的运算性质.菁优网版权所有

专题:

函数的性质及应用.

分析:

直接利用对数的运算法则化简求解即可.

解答:

解:lg0.01+log216=﹣2+4=2.

故答案为:2.

点评:

本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力.

 

13.(5分)(2015•四川)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα﹣cos2α的值是 ﹣1 .

考点:

同角三角函数基本关系的运用.菁优网版权所有

专题:

三角函数的求值.

分析:

已知等式移项变形求出tanα的值,原式利用同角三角函数间的基本关系化简,将tanα的值代入计算即可求出值.

解答:

解:∵sinα+2cosα=0,即sinα=﹣2cosα,

∴tanα=﹣2,

则原式=====﹣1,

故答案为:﹣1

点评:

此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

 

14.(5分)(2015•四川)在三棱住ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P﹣A1MN的体积是  .

考点:

棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有

专题:

空间位置关系与距离.

分析:

判断三视图对应的几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据,求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可.

解答:

解:由三视图可知,可知几何体的图形如图:几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1,高为1的直三棱柱,所求三棱锥的高为NP=1,底面AMN的面积是底面三角形ABC的,

所求三棱锥P﹣A1MN的体积是:=.

故答案为:.

点评:

本题考查三视图与直观图的关系,组作出几何体的直观图是解题的关键之一,考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

 

15.(5分)(2015•四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:

①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;

②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;

③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;

④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.

其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号).

考点:

命题的真假判断与应用.菁优网版权所有

专题:

函数的性质及应用.

分析:

运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②;

通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断③;

通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断④.

解答:

解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;

对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(,+∞)递减,则n>0不恒成立,

则②错误;

对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,

h′(x)=2x+a﹣2xln2,当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;

对于④,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,

h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.

故答案为:①④.

点评:

本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.

 

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.

考点:

等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.菁优网版权所有

专题:

等差数列与等比数列.

分析:

(Ⅰ)由条件Sn满足Sn=2an﹣a1,求得数列{an}为等比数列,且公比q=2;再根据a1,a2+1,a3成等差数列,求得首项的值,可得数列{an}的通项公式.

(Ⅱ)由于=,利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn.

解答:

解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有

an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n≥2),

即an=2an﹣1(n≥2),

从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.

又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1)

所以a1+4a1=2(2a1+1),

解得:a1=2.

所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.

故an=2n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得=,

所以Tn=+++…+==1﹣.

点评:

本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系,等差、等比数列的定义和性质,等比数列的前n项和公式,属于中档题.

 

17.(12分)(2015•四川)一辆小客车上有5名座位,其座号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.

(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

3

2

1

4

5

3

2

4

5

1

 3 

 2 

 4 

 1 

 5 

 3 

 2 

 5 

 4 

 1 

(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P1坐到5号座位的概率.

考点:

概率的应用.菁优网版权所有

专题:

应用题;概率与统计.

分析:

(Ⅰ)根据题意,可以完成表格;

(Ⅱ)列表,确定所有可能的坐法,再求出乘客P1坐到5号座位的概率.

解答:

解:(Ⅰ)余下两种坐法:

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

3

2

1

4

5

3

2

4

5

1

3

2

4

1

5

3

2

5

4

1

(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则

所有可能的坐法可用下表表示为

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

2

1

3

4

5

2

3

1

4

5

2

3

4

1

5

2

3

4

5

1

2

3

5

4

1

2

4

3

1

5

2

4

3

5

1

2

5

3

4

1

于是,所有可能的坐法共8种,

设“乘客P1坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)==.

答:乘客P1坐到5号座位的概率是.

点评:

本题考查概率的运用,考查学生的计算能力,列表确定基本事件的个数是关键.

 

18.(12分)(2015•四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(Ⅰ)请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)

(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.

(Ⅲ)证明:直线DF⊥平面BEG.

考点:

直线与平面垂直的判定;平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有

专题:

空间位置关系与距离.

分析:

(Ⅰ)直接标出点F,G,H的位置.

(Ⅱ)先证BCHE为平行四边形,可知BE∥平面ACH,同理可证BG∥平面ACH,即可证明平面BEG∥平面ACH.

(Ⅲ)连接FH,由DH⊥EG,又DH⊥EG,EG⊥FH,可证EG⊥平面BFHD,从而可证DF⊥EG,同理DF⊥BG,即可证明DF⊥平面BEG.

解答:

解:(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示.

(Ⅱ)平面BEG∥平面ACH,证明如下:

∵ABCD﹣EFGH为正方体,

∴BC∥FG,BC=EH,

又FG∥EH,FG=EH,

∴BC∥EH,BC=EH,

∴BCHE为平行四边形.

∴BE∥CH,

又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,

∴BE∥平面ACH,

同理BG∥平面ACH,

又BE∩BG=B,

∴平面BEG∥平面ACH.

(Ⅲ)连接FH,

∵ABCD﹣EFGH为正方体,

∴DH⊥EG,

又∵EG⊂平面EFGH,

∴DH⊥EG,

又EG⊥FH,EG∩FH=O,

∴EG⊥平面BFHD,

又DF⊂平面BFHD,

∴DF⊥EG,

同理DF⊥BG,

又∵EG∩BG=G,

∴DF⊥平面BEG.

点评:

本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.

 

19.(12分)(2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.

(Ⅰ)求C的大小

(Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.

考点:

正弦定理的应用;两角和与差的正切函数.菁优网版权所有

专题:

函数的性质及应用;解三角形.

分析:

(Ⅰ)由判别式△=3p2+4p﹣4≥0,可得p≤﹣2,或p≥,由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p,由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan(A+B)=,结合C的范围即可求C的值.

(Ⅱ)由正弦定理可求sinB==,解得B,A,由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°,从而可求p=﹣(tanA+tanB)的值.

解答:

解:(Ⅰ)由已知,方程x2+px﹣p+1=0的判别式:△=(p)2﹣4(﹣p+1)=3p2+4p﹣4≥0,

所以p≤﹣2,或p≥.

由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p.

所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0,

从而tan(A+B)==﹣=﹣.

所以tanC=﹣tan(A+B)=,

所以C=60°.

(Ⅱ)由正弦定理,可得sinB===,

解得B=45°,或B=135°(舍去).

于是,A=180°﹣B﹣C=75°.

则tanA=tan75°=tan(45°+30°)===2+.

所以p=﹣(tanA+tanB)=﹣(2+)=﹣1﹣.

点评:

本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查了运算求解能力,考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用,属于中档题.

 

20.(13分)(2015•四川)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且•=﹣1

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得•+λ•为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

考点:

直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有

专题:

向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:

(Ⅰ)通过e=、•=﹣1,计算即得a=2、b=,进而可得结论;

(Ⅱ)分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论:①当直线AB的斜率存在时,联立直线AB与椭圆方程,利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3;②当直线AB的斜率不存在时,•+λ•=﹣3.

解答:

解:(Ⅰ)根据题意,可得C(0,﹣b),D(0,b),

又∵P(0,1),且•=﹣1,

∴,解得a=2,b=,

∴椭圆E的方程为:+=1;

(Ⅱ)结论:存在常数λ=1,使得•+λ•为定值﹣3.

理由如下:

对直线AB斜率的存在性进行讨论:

①当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,

A(x1,y1),B(x2,y2),

联立,消去y并整理得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,

∵△=(4k)2+8(1+2k2)>0,

∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣,

从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)]

=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1

=

=﹣﹣λ﹣2.

∴当λ=1时,﹣﹣λ﹣2=﹣3,

此时•+λ•=﹣3为定值;

②当直线AB的斜率不存在时,直线AB即为直线CD,

此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3;

故存在常数λ=1,使得•+λ•为定值﹣3.

点评:

本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积累,属于难题.

 

21.(14分)(2015•四川)已知函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.

(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

考点:

利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有

专题:

导数的综合应用.

分析:

(I)函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.可得:x>0.g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a),可得g′(x)==,分别解出g′(x)<0,g′(x)>0,即可得出单调性.

(II)由f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,可得a=x﹣1﹣lnx,代入f(x)可得:u(x)=(1+lnx)2﹣2xlnx,利用函数零点存在定理可得:存在x0∈(1,e),使得u(x0)=0,令a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0),再利用导数研究其单调性即可得出.

解答:

(I)解:函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.可得:x>0.

g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a),∴g′(x)==,

当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;

当1<x时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.

(II)证明:由f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,解得a=x﹣1﹣lnx,

令u(x)=﹣2xlnx+x2﹣2(x﹣1﹣lnx)x+(x﹣1﹣lnx)2=(1+lnx)2﹣2xlnx,

则u(1)=1>0,u(e)=2(2﹣e)<0,

∴存在x0∈(1,e),使得u(x0)=0,

令a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0),其中v(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1),

由v′(x)=1﹣≥0,可得:函数v(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e﹣2<1,即a0∈(0,1),当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=u(x0)=0.

再由(I)可知:f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,

当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)>f(x0)=0;

当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)>f(x0)=0;

又当x∈(0,1],f(x)=﹣2xlnx>0.

故当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立.

综上所述:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

点评:

本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.

 

2015年四川省高考数学试卷(文科)

 

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

1.(5分)(2015•四川)设集合A={x|﹣1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=(  )

 

A.

{x|﹣1<x<3}

B.

{x|﹣1<x<1}

C.

{x|1<x<2}

D.

{x|2<x<3}

 

2.(5分)(2015•四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=(  )

 

A.

2

B.

3

C.

4

D.

6

 

3.(5分)(2015•四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是(  )

 

A.

抽签法

B.

系统抽样法

C.

分层抽样法

D.

随机数法

 

4.(5分)(2015•四川)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的(  )

 

A.

充要条件

B.

充分不必要条件

 

C.

必要不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

 

5.(5分)(2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )

 

A.

y=cos(2x+)

B.

y=sin(2x+)

C.

y=sin2x+cos2x

D.

y=sinx+cosx

 

6.(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )

 

A.

B.

C.

D.

 

7.(5分)(2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )

 

A.

B.

2

C.

6

D.

4

 

8.(5分)(2015•四川)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是(  )

 

A.

16小时

B.

20小时

C.

24小时

D.

28小时

 

9.(5分)(2015•四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为(  )

 

A.

B.

C.

12

D.

16

 

10.(5分)(2015•四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )

 

A.

(1,3)

B.

(1,4)

C.

(2,3)

D.

(2,4)

 

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

11.(5分)(2015•四川)设i是虚数单位,则复数i﹣=      .

 

12.(5分)(2015•四川)lg0.01+log216的值是      .

 

13.(5分)(2015•四川)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα﹣cos2α的值是      .

 

14.(5分)(2015•四川)在三棱住ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P﹣A1MN的体积是      .

 

15.(5分)(2015•四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:

①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;

②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;

③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;

④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.

其中的真命题有      (写出所有真命题的序号).

 

 

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn.

 

17.(12分)(2015•四川)一辆小客车上有5名座位,其座号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.

(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

座位号

3

2

1

4

5

3

2

4

5

1

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P1坐到5号座位的概率.

 

18.(12分)(2015•四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(Ⅰ)请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)

(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.

(Ⅲ)证明:直线DF⊥平面BEG.

 

19.(12分)(2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.

(Ⅰ)求C的大小

(Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.

 

20.(13分)(2015•四川)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且•=﹣1

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得•+λ•为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

 

21.(14分)(2015•四川)已知函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.

(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

 

 

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