2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II
卷)文科数学试题答案与解析
1.解析 因为集合{}2,0,2A =-,{}
{}2
202,1B x x x =--==-,所以{}2A
B =,故
选B. 2. 解析
()()()()13i 1i 13i 24i
12i
1i 1i 1i 2
+++-+===-+--+,故选B. 3. 解析 因为()f x 在0x x =处可导,所以若0x x =是()f x 的极值点,则()00f x '=,所以q p ⇒,故p 是q 的必要条件;反之,以()3f x x =为例,()00f '=,但0x =不是极值点,所以p q ⇒/,故p 不是q 的充分条件.故选C.
4. 解析 因为+=a b ,所以2
2
210+⋅+=a a b b .①又-=a b ,所以
2226-⋅+=a a b b .②-①②,得44⋅=a b ,即1⋅=a b ,故选A.
5. 解析 因为248,,a a a 成等比数列,所以2
428a a a =⋅,即()()()2
11137a d a d a d +=++,
将2d =代入上式,解得12a =,所以()()12
212
n n n S n n n -⋅=+
=+.故选A. 6. 解析 该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为2
2
π24π3234π⨯⨯+⨯⨯=3
cm ,圆柱体毛坯的体积为2
π3654π⨯⨯=3
cm ,所以切削掉部分的体积为
54π34π20π-=3cm ,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
20π10
54π27
=,故选C.
7. 解析 在正三棱柱111ABC A B C -中,因为
AD BC ⊥,所以AD ⊥平面11B DC ,所以
1
1
1
1
111
21332
A B DC B DC V S AD -=⋅=⨯⨯=△,故选C.
8. 解析 1k =时,12…成立,此时2M =,235S =+=;2k =时,22…成立,此时
2M =,257S =+=;3k =时,32>,终止循环,输出7S =.故选D.
9. 解析 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由2z x y =+,得122
z
y x =-
+,2z 为直线122z y x =-+在轴上的截距,要使z 最大,则需2z 最大,所以当直线122
z y x =-+经过点()3,2B 时,z 最大,最大值为3227+⨯=,故选B.
10. 解析 焦点F 的坐标为3,04⎛⎫
⎪⎝⎭
,直线AB
的斜率为,所以直线AB
的方程为334y x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
,
即y =,代入2
3y x =,得217303216x x -+=,设()11,A x y ,
()22,B x y ,则12212x x +=
,所以123213
12222
AB x x =++=
+=,故选C. C 1
B 1
A 1
D
C B
A
11. 解析 依题意得()10f x k x '=-…在()1,+∞上恒成立,即1
k x
…在()1,+∞上恒成立,因为1x >,所以1
01x
＜
＜,所以1k …,故选D. 12. 解析 解法一:过M 作圆O 的两条切线,MA MB ,切点分别为,A B ,若在圆O 上存在点N ,使45OMN ∠=,则45OMB OMN ∠∠=…,所以90AMB ∠…, 所以0
11x -剟,故选A.
解法二:过O 作OP MN ⊥于P ,则sin 451OP OM =…
,所以OM …
2
01x …,即0
11x -剟,故选A.
评注 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
13. 解析
甲 、乙的选择方案有红红、红白 、红蓝、白红、白白 、白蓝、蓝红、蓝白 、蓝蓝
9种,其中颜色相同的有3种,所以所求的概率为
3193
=. 14. 解析 ()()sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=+-=+-=
()sin cos cos sin sin 1x x x ϕϕϕ-=-…,所以()max 1f x =.
15. 解析 因为函数()y f x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22f x f x +=-对任意
x 恒成立,令1x =,得()()133f f ==,所以()()113f f -==.
16. 解析 由111n n a a +=
-,得1
1
1n n a a +=-,因为82a =,所以711122a =-=,
67111a a =-
=-,56
1
12a a =-=,,所以{}n a 是以3为周期的数列,所以1712a a ==.
17. 解析 (1)由题设及余弦定理得2
2
2
2cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-,①
2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+.
②
由①,②得1
cos 2
C =
,故60C =
,BD (2)四边形ABCD 的面积
1111sin sin 1232sin 60232222S AB DA A BC CD C ⎛⎫
=
⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
评注 本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解能力和转化的思想,把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.
18. 解析 (I )设BD 与AC 的交点为O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.又E 为PD
的中点,所以//EO PB .EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以//PB 平面
AEC . (II )166V PA AB AD AB =
⋅⋅=.由4
V =
,可得32AB =.作
AH PB ⊥交PB 于H . 由题设知BC ⊥平面PAB ,所以BC AH ⊥,故AH ⊥
平面PBC . 又PA AB AH PB ⋅=
=
A 到平面PBC .
评注 本题考查直线和平面平行 、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.
19. 解析(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为
6668
672
+=,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知,50位市民对甲 、乙部门的评分高于90的比率分别为
5
0.150
=,8
0.1650
=,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高 、评价较为一致,对乙部门的评价较低 、评价差异较大.
评注 本题考查利用茎叶图进行中位数,概率的相关计算,考查用样本的数字特征估计总体的数字特征,运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力,考查数据处理能力及应用意识.
20. 解析 (I
)根据c =2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,223b ac =.将222
b a
c =-代入
223b ac =,解得
12c a =或2c a
=-(舍去).故C 的离心率为12.
(II )由题意,知原点O 为12F F 的中点,2//MF y 轴,所以直线1MF 与y 轴的交点()
0,2D H
E
O
P
D
C
B
A
是线段1MF 的中点,故2
4b a
=,即24b a =,① 由15MN F N =得112DF F N
=.设()11,N x y ,由题意知10y ＜, 则()11222c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩,即11
321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,代入C 的方程为,得2229114c a b +=.②
将①及c =
()22
941
144a a a a
-+
=.解得7a =,2428b a ==. 故7a =
,b =评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 21. 解析(1)()236f x x x a '=-+,()0f a '=,曲线()y f x =在点()0,2处的切线方程为2y ax =+.由题设得2
2a
-
=-,所以1a =. (2)由(1)知,()3232f x x x ax =-++.
设()()()322314g x f x kx x x k x =-+=-+-+.由题设知10k ->.当0x …时,
()23610g'x x x k =-+->,()g x 单调递增,()110g k -=-＜,()04g =,
所以()0g x =在(],0-∞上有唯一实根.当0x >时,令()3234h x x x =-+,
则()()()()1g x h x k x h x =+->.()()23632h'x x x x x =-=-,()h x 在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增,所以()()()20g x h x h >=….所以()0g x =在()0,+∞上没有实根.
综上,()0g x =在R 上有唯一实根,即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点. 评注 本题主要考查导数的几何意义及导数的应用,考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等思想方法.把曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点的问题转化为研究函数
()()32314g x x x k x =-+-+在R 上有唯一实根问题是解决问题的关键.
22. 解析 (I )连接AB ,AC ,由题设知PA PD =,故PAD PDA ∠=∠.
因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠,PAD BAD PAB ∠=∠+∠,DCA PAB ∠=∠,所以
DAC BAD ∠=∠,从而BE EC =,因此BE EC =.
(II )由切割线定理得2
PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==,所以2DC PB =,
BD PB =,由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅,所以2
2AD DE PB ⋅=.
23. 解析 (I )C 的普通方程为()()2
2
1101x y y
-+=剟.可得C 的参数方程为
1cos sin x t
y t
=+⎧⎨
=⎩(t 为参数,0πt 剟).
(II )设()1c o s ,sin D t t +.由(I )知C 是以()1,0G 为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点
D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同. tan t =π
3
t =
.故D 的直角坐标
为ππ1cos
,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝
⎭.即32⎛ ⎝⎭
. 24. 解析 (I )由0a >,有()()111
2f x x x a x x a a a a a
=+
+-+--=+厖,所以
()2f x ….
(II )()1
333f a a
=+
+-.当3a >时,()13f a a =+,由()35f ＜得532a +＜＜
.
当03a ＜…时,()136f a a =-+
,由()35f ＜得132
a +＜….
综上,a 的取值范围是⎝⎭
.
