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时间:2020-07-13 19:59  编辑:咸阳广电局

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三角形内嵌三个等圆的半径计算

严斌

摘 要:文【1】对三角形内嵌入两个等圆的研究有了较好的成果,在此基础上利用从特殊到一般的方法,研究了三角形内嵌三个等圆的半径计算,得出了一般三角形内嵌三个等圆的半径公式。

关键词:三角形;圆;半径计算;内嵌三等圆

0引言

在三角形内嵌两个等圆,已有文章《三角形内嵌入等圆的半径计算》(罗江 . 凯里学院学报. 第29卷第6期.2010年12月 154-15)表明:三角形内嵌两等圆的半径计算公式为:,其中为三角形的面积、为三角形内嵌两等圆的半径。此文章对三角形内嵌入两个等圆的研究有了较好的成果,并在生产生活中有重要的价值和意义。但是,在三角形内嵌入三个等圆,现在国内还未见到这方面的成果。研究在三角形内切三个等圆的半径计算,在生产生活中有着重要的作用,此问题的研究有重要的价值和意义,经过研究得到在三角形内嵌三个等圆半径计算的一般公式。

1 等腰三角形内嵌三个等圆的半径计算公式及证明

  对于一般的等腰三角形内嵌三等圆,三个圆的圆心分别在三条角平分线上。

定理1:设为等腰三角形,AB=c,AC=BC=a,,为三角形ABC内嵌的三个等圆,则的半径为:

证明:如图1,在中,AB=c,AC=BC=a,。为三角形ABC内嵌的三个等圆,设半径均为r,由三圆分别以临边相切,易知,

三角形ABC的面积:          (图1)

                    

        

由根以系数的关系有:

化简得:

将,代入上式,化简得:

推论1:正三角形ABC,其边长为a,则其内嵌的三个等圆半径为:。

推论2:直角等腰三角形ABC,AC=BC=a, 则其内嵌的三个等圆半径为:。

将或a=b=c分别代入上式可得到正三角形内切三个等圆的半径长度,同样将AC=BC=a代入上式可得到直角等腰三角形内切三个等圆的半径长度。

2 一般的直角三角形内嵌三等圆半径计算公式

由推论2知一般的等腰三角形内嵌三等圆,三个圆的圆心分别在三条角平分线上,若将一边边长成为一般直角三角形,在其内嵌入三等圆,则较长的两边总有两个圆和边相切,最短直角边只有一个圆和他相切。

定理2:设为直角三角形,AB=c>C=b>BC=a。圆,,为两个三角形内嵌的等圆,则的半径为:

证明:如图2:在中,已知、AB=c>C=b>BC=a。圆,设圆的半径为r,∠A为θ,连接,并延长交BC于D点。连接,。由分别以、相切。即有为等腰三角形。过点作BC的平行线交于E点,连接。

由图可知,,,,  

  ,  ,      ,

,,, 

(图2)                     三角形ABC的面积:      

      

即:

由根以系数的关系得:

配方化简得:即得到一般直角三角形内嵌三等圆的一般公式。

推论3:如图3:一个角为60°的直角三角形,内嵌三等圆半径的半径为。

3 一般三角形内嵌三等圆的半径计算公式

     由定理1,若将(图1)的BC边边长,          (图3)

成为一般的三角形,可以知道,在一般的三角形内嵌入三等圆,三角形的三边均不相等。则较长的两边都以两个圆相切 

    定理3:设△,已知∠A为θ,∠C为、AB=c,AC=b,BC=a。圆,,为两个三角形内嵌的等圆,则的半径为:

    证明:如图4 已知在中,已知∠A为θ,∠C为、AB=c,AC=b,BC=a。圆,设圆半径为r,连接,          

(图4)                并延长交BC于D点。由图可知,,,,。,

由 。 带入上式

得到:

,,

所以:

即:

三角形ABC的面积:

由根以系数的关系得:

配方化简得:(其中:,, )

若令:,有:,。

则:。为直角三角形内嵌三等圆的半径,即定理2为定理3的特例。

若令AC=BC=a则定理1为定理3三的特例。

将相应的a,b,c带入公式,即得到一般的三角形内切三圆的半径。

3、结束语

三角形内切圆是初中必学的知识,一般的情况下,我们只能学到三角形内切圆的第一种情况,即三角形内切一个圆,计算它的半径有公式可以利用。三角形内嵌两个等圆由文[2]已经得到了他的半径计算公式,现对三角形内嵌三等圆的研究,并得到一般三角形内嵌三等圆的半径计算公式,在理论和实际应用中都有较高的价值。

参考文献:

[1] 三角形内嵌入等圆的半径计算_罗江 . 凯里学院学报. 第29卷第6期. 2010年12月 154-155

。

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