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时间:2020-07-05 03:30  编辑:清水汽车维修

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指数函数

一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R.

提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

(7)(8)(>1,且)

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.

只有满足的形式才能称为指数函数,.

指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

图象特征

函数性质

>1

0<<1

>1

0<<1

向轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在轴上方

函数的值域为R+

函数图象都过定点(0,1)

=1

自左向右,

图象逐渐上升

自左向右,

图象逐渐下降

增函数

减函数

在第一象限内的图

象纵坐标都大于1

在第一象限内的图

象纵坐标都小于1

>0,>1

>0,<1

在第二象限内的图

象纵坐标都小于1

在第二象限内的图

象纵坐标都大于1

<0,<1

<0,>1

利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在(>0且≠1)值域是

(2)若

(3)对于指数函数(>0且≠1),总有

(4)当>1时,若<,则<;

例题:

例1:已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求

1、函数

2、当

例1:(P66例7)比较下列各题中的个值的大小

(1)1.72.5与1.73

(2)与

(3)1.70.3与0.93.1

解法:(1)由函数的单调性考虑

因为指数函数在R上是增函数,且2.5<3,所以,

(3)由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小.

思考:

1、已知按大小顺序排列.

2.比较(>0且≠0).

1、求下列函数的定义域和值域

(1)(2)

(3)(4)

(5)(6)

2、下列函数中,值域为的函数是()

3、已知,求的最小值与最大值。

4、如果函数在上的最大值为14,求实数的值。

5、设,解关于的不等式。

对数的概念

一般地,若,那么数叫做以a为底N的对数,记作

叫做对数的底数,N叫做真数.

举例:如:,读作2是以4为底,16的对数.

,则,读作是以4为底2的对数.

2、对数式与指数式的互化

在对数的概念中,要注意:

(1)底数的限制>0,且≠1

(2)

指数式对数式

幂底数←→对数底数

指数←→对数

幂←N→真数

例题:

例1将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.

(1)54=645(2)(3)

(4)(5)(6)

两类对数

①以10为底的对数称为常用对数,常记为.

②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.

以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,即.

求下列各式中x的值

(1)(2)(3)(4)

分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.

解:(1)

(2)

(3)

(4)

所以

对数的定义及对数恒等式

(>0,且≠1,N>0),

指数的运算性质.

如:于是由对数的定义得到

即:同底对数相加,底数不变,真数相乘

如果>0且≠1,M>0,N>0,那么:

(1)

(2)

(3)

证明:(3)

当=0时,显然成立.

例题:1.判断下列式子是否正确,>0且≠1,>0且≠1,>0,>,则有

(1)(2)

(3)(4)

例2:用,,表示出(1)(2)小题,并求出(3)、(4)小题的值.

(1)(2)(3)(4)

(1)

(2)

=

(3)

(4)

你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?

>0,且≠1,>0,且≠1,>0

即:

所以:

小结:以上这个式子换底公式,换的底C只要满足C>0且C≠1就行了,除此之外,对C再也没有什么特定的要求.

表1

指数函数

对数数函数

定义域

值域

图象

性质

过定点

过定点

减函数

增函数

减函数

增函数

1、化简[]的结果为()

A.5B.C.-D.-5

2、将化为分数指数幂的形式为()

A.B.C.D.

3、化简(a,b为正数)的结果是()

A.B.abC.D.a2b

4、化简,结果是()

A、B、C、D、

5、=__________.

6、=__________.

7、=__________。

8、=__________。

9、=__________。

已知求的值。

1、一批设备价值万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低,则年后这批设备的价值为()

A、B、C、D、

2、若,则。

3、若,则等于()

A、B、C、D、

1、若函数的图像经过第一、三、四象限,则一定有()

A.B.

C.D.

2、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______________

3、直线与函数的图像有两个公共点,则的取值范围是________。

4、函数在R上是减函数,则的取值范围是()

A、B、C、D、

5、当时,函数的值总是大于1,则的取值范围是_____________。

6、若,则下列不等式中成立的是()

7、当时,函数和的图象只可能是()

求下列函数的单调区间.

1.一次函数y=kx+b(k≠0).

解当k>0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当k<0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间.

2.反比例函数y=(k≠0).

解当k>0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当k<0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).

解 当a>0时(-∞,-)是这个函数的单调减区间,(-,+∞)是它的单调增区间;当a<0时(-∞,-)是这个函数的单调增区间,(-,+∞)是它的单调减区间;

4.指数函数y=ax(a>0,a≠1).

解 当a>1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间.

5.对数函数y=logax(a>0,a≠1).

解 当a>1时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(0,+∞)是它的单调减区间.

已知函数y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.

(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)

证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1<u2,且u1,u2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)<f(u2),即f[g(x1)]<f[f(x2)],

故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.

例1 求下列函数的单调区间:

          y=log4(x2-4x+3)

解 设y=log4u,u=x2-4x+3.由

      {u>0,

       u=x2-4x+3,

解得原复合函数的定义域为x<1或x>3.

例2 求下列复合函数的单调区间:

          y=log(2x-x2)

解 设y=logu,u=2x-x2.由u>0u=2x-x2

解得原复合函数的定义域为0<x<2.

由于y=log13u在定义域(0,+∞)内是减函数,所以,原复合函数的单调性与二次函数u=2x-x2的单调性正好相反.

(1)求函数的定义域(2)求函数的值域

判断下列函数的奇偶性

①;②;

③;④。

函数单调性的常用结论:

1、若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数

2、若为增(减)函数,则为减(增)函数

3、若与的单调性相同,则是增函数;若与的单调性不同,则是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

函数奇偶性的常用结论:

1、如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。

函数的奇偶性问题

1、如果函数在区间上是偶函数,则=_________

2、函数是()

A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

3、若函数是奇函数,则=_________

4、若函数是奇函数,则=_________

5、是偶函数,且不恒等于零,则()

A、是奇函数B、可能是奇函数,也可能是偶函数

C、是偶函数D、不是奇函数,也不是偶函数

6、设函数,

(1)求证:不论为何实数总为增函数;

(2)确定的值,使为奇函数及此时的值域.

7、已知函数,

(1)判断函数的奇偶性;

(2)求该函数的值域;

(3)证明是上的增函数。

必修一检测

1、已知全集,集合,,则等于()

A.{0,4} B.{3,4}    C.{1,2} D.

2、设集合,,则等于 (   )

A.{0}  B.{0,5}    C.{0,1,5}D.{0,-1,-5}

3、计算:=(   )

A 12       B 10    C8   D6

4、函数图象一定过点()

A(0,1)  B(0,3)  C(1,0) D(3,0)

5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则与故事情节相吻合是()

6、函数 的定义域是(  )

A{x|x>0}  B{x|x≥1}  C{x|x≤1}  D{x|0<x≤1}

7、把函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得函数的解析式应为  (  )

A    B  C  D

8、设,则()

Af(x)与g(x)都是奇函数Bf(x)是奇函数,g(x)是偶函数

Cf(x)与g(x)都是偶函数Df(x)是偶函数,g(x)是奇函数

9、使得函数有零点的一个区间是()

 A(0,1)    B(1,2)  C(2,3)   D(3,4)

10、若,,,则()

A B CD

11、函数在区间[-2,2]上的值域是______

12、计算:+=______

13、函数的递减区间为______

14、函数的定义域是______

15. (15分) 计算 

16、已知函数。

(1)求、、的值;

(2)若,求的值.

17、已知函数

  (1)求函数的定义域

  (2)判断函数的奇偶性,并说明理由.

18、已知函数=。

(1)写出的定义域;

(2)判断的奇偶性;

。

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