福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试
高二数学试卷
一、选择题(每小题5分,共65分;在给出的A,B,C,D 四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.函数x xe y =的单调递增区间是( ) A .]1,(--∞
B .]1,(-∞
C .),1[+∞
D .),1[+∞-
2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数()f x ,如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=,所以0x =是函数
3()f x x =的极值点.以上推理中( )
A .大前提错误
B .小前提错误
C .推理形式错误
D .结论正确 3.已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示,那么函数)(x f 的图象最有可能的是( )
4.函数()ln x
f x x =
有( ) A .极小值为1e B .极大值为1
e
C .极小值为e
D .极大值为e
5.已知,15441544,833833,322322 =+=+=+
+∈=+R t a t
a t a ,,88, 则=+t a ( )
A 、70
B 、68
C 、69
D 、71
6.若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ).
A .ρ=cos θ+sin
θ, π02θ≤≤
B
.1cos +sin ρθθ=,π
04
θ≤≤
C .1cos +sin ρθθ=
,π02θ≤≤ D .ρ=cos θ+sin θ, π
04
θ≤≤
7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ).
A .
43 B .2 C .83 D
8.用数学归纳法证明*))(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=+++ 时,从n=k 到n=k+1左边需增加的代数式为( )
A . )12(2+k
B . )1(2+k
C .
1k 12++k D . 1k 3
2++k
9.设a R ∈,若函数()ax f x e x =-有小于零的极值点,则实数a 的取值范围为( )
A .01a ＜＜
B .1a >
C .10a e ＜＜
D .1
a e
> 10.若2
10
()+2
()d f x x f x x =⎰
,则10()d f x x ⎰=( ).
A .-1
B .
13 C .1
3
- D .1 11.设P 为曲线C :322++=x x y 上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是]4
,0[π
,
则点P 横坐标的取值范围是( )
A .]0,1[-
B .]21,1[--
C .]1,0[
D .]1,2
1[
12.函数a x x x f +-=
2
32131)(仅一个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .)61,0( B .)0,61(- C .),61()0,(+∞⋃-∞
D .),0()6
1
,(+∞⋃--∞
13.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的n 个数分别是:
1,3,5,…,2n-1;(2)从第2行起,各行中的每一个数都
等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n 行(如:第3行的
第4个数为36).问:当n=2018时,第34行的第17个数是( )
A. 201823333+⋅
B.392
C. 34233⋅
D. 38
2
二、填空题(每小题5分,共25分) 14.
=+
-⎰
-dx x x )1
9(3
3
3
2__________ ____. 1 3 5 7 9 11 ……
4 8 12 16 20 …… 12 20 28 36 …… ………………… …………… …… .
15.函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ,且)(x f 在R 上的导函数2
1
)(>
'x f ,则不等式2
1
)(+＜
x x f 的解集为 .
16.射线3π
θ=
(0>ρ)与曲线θρs i n
2:1=C 的异于极点的交点为A ,与曲线2C :θ
ρ22cos 12
+=的交点为B ,则|AB|= .
17.已知命题“在等差数列{}n a 中,若(),,,*m n a a a b m n m n N ==＜∈,则
n m bn am
a n m
+-=
-”,
在正项等比数列{}
n b 中,若),,(,*∈＜==N n m n m b b a b n m ,用类比上述命题,则可得到
n m b += .
18.
已
知
函
数
)
0(ln )(>+=a x a x x f ,若
)
)(1,2
1
(,2121x x x x ≠∈∀,
|1
1|
|)()(|2
121x x x f x f ->-, 则正数a 的取值范围为 . 三 、解答题(要求写出过程,共60分) 19. (本小题满分12分) 设函数x x
a
ax x f ln 2)(--
=. (1)若)(x f 在2=x 时有极值,求实数a 的值和)(x f 的极大值; (2)若)(x f 在定义域上是增函数,求实数a 的取值范围.
20. (本小题满分12分)
已知过点()0,1P -的直线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),在以坐标原点O 为极
点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为()2
2sin cos
00a a θρθ-=>.
()Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程;
()Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ,N ,且PM
,MN ,PN 成等比数列,求a 的值.
21. (本小题满分12分)
为了提高经济效益,某食品厂进行杏仁的深加工,每公斤杏仁的成本20元,并且每公斤杏仁的加工费为t 元(t 为常数,且)52≤≤t ,设该食品厂每公斤杏仁的出厂价为x 元(4025≤≤x ),销售量q ,且(0,)x k
q k k R e
=
>∈(e 为自然对数的底)。根据市场调查,当每公斤杏仁的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.
(Ⅰ)求该工厂的每日利润y 元与每公斤杏仁的出厂价x 元的函数关系式;
(Ⅱ)若5=t ,当每公斤杏仁的出厂价x 为多少元时,该工厂的利润y 最大,并求最大值.
22.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和1
122n n n S a -⎛⎫
=--+ ⎪
⎝⎭
,
(n 为正整数). (Ⅰ)求1234,,,a a a a ,并猜想数列{}
n a 的通项公式(不必证明); (Ⅱ)试比较n S 与2-1
n -1
(n ≥5)的大小,并予以证明.
23.(本小题满分12分)
已知函数1ln )(--=x a x x f ,曲线)(x f y =在)0,1(处的切线经过点)0,(e .
(Ⅰ)证明:0)(≥x f ;
(Ⅱ)若当),1[+∞∈x 时,)(1x f x e x λ≥--恒成立,求λ的取值范围.
福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试卷
高二理科数学·选修2-2参考答案
一、1.D 2.A 3.A 4.B 5. D 6.C 7.C 8.A 9.B 10.C 11. B 12.C 13.C}
二 、14. 29π
; 15.{x|x＜1}; 16.
510
23- ; 17.
n
n m n m m
n m
b b a
-+-=; 18.),23[+∞ 19.解:(Ⅰ)∵在
时有极值,∴有
又∴, ∴
∴有 由得,
又∴由得或
由得
∴在区间
和上递增,在区间上递减
∴
的极大值为
(Ⅱ)若在定义域上是增函数,则
在时恒成立
,
需时
恒成立,
化
为
恒成立,
,
为所求.
20.解:(Ⅰ)
22sin cos 0a θρθ-=,222sin cos 0a ρθρθ-=∴,即()220x ay a =>.
(Ⅱ)将1
212
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2
2x ay =
,得280t a -+=,得
(
)
21212480,,
8.a t t t t a ⎧∆=--⨯>⎪⎪
+=⎨⎪=⎪⎩
①. 0a >,∴解①得23
a >
. PM ,MN ,PN 成等比数列,2
MN PM PN =∙∴,即2
1212t t t t -=,
()2
1212124t t t t t t +-=∴
,即()
2
400a -=,解得0a =或56
a =
. 23a >
,56
a =∴.
21. 解:解:(Ⅰ)设由已知得
30
30100,100k k e e
=∴= ……………………2分
∴日销量30
100x
e q e = ………………………………………………………3分
30100(20)(2540)x
e x t y x e --∴=≤≤. …………………………………6分
(Ⅱ)当5=t 时,x
e x e y )
25(10030-= ……………………………………7分
30100(26)
x
e x y e -'=
………………………………………………………8分
026y x '≥≤由得,0y '≤≥由得x 26
[][]252626y ∴在,上单调递增,在,40上单调递减. ………………10分
4max 100,26e y x ==∴时当 ………………………………………………11分
当每公斤杏仁的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为4100e 元. (12)
分
22.
23.解:(1)曲线)(x f y =在)0,1(处的切线为)1)(1('-=x f y ,即)1)(1(--=x a y 由题意得)1)(1(0--=e a ,解得1=a 所以1ln )(--=x x x f 从而x
x x x f 1
11)('-=-
= 因为当)1,0(∈x 时,0)('＜x f ,当),1(+∞∈x 时,0)('>x f . 所以)(x f 在区间)1,0(上是减函数,区间),1(+∞上是增函数, 从而0)1()(=≥f x f . (2)
