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时间:2020-05-26 00:35  编辑:南充猪肉价格

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2017-2018学年镇海中学数学竞赛模拟试卷(1) 姓

名_______

一、填空题

1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ,则=+)1

(l n )(

l n a

f a f ____________.

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上,则AB 的取值范围是____________.

3、若⎪⎭

⎛<

≤<=20tan 3tan παβαβ,则βα-的最大值为____________.

4、已知△ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角,AC =BC =1,过点B 作平面ABC 的垂线DB ,使得DB =1,在DA 、DC 上分别取点E 、F ,则△BEF 周长的最小值为____________.

5、已知函数x x x f 3)(3+=,对任意的[]2,2-∈m ,0)2()8(<+-x

f mx f 恒成立,则正.实数..x 的取值范围为____________.

6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=,且)(2b c a b -=-,若α为c ,a 的夹角,则αcos 的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球(5个黑球和5个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,向量()B C A sin ,sin sin +=p ,向量),(a b c a --=q ,且满足q p ⊥. (Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值;

(Ⅱ)若c =2,2sin2A +sin(2B +C )=sin C ,求△ABC 的面积.

10.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足:n n n a a ,a a 222

11+==+.

(1)求证:数列{})1lg(+n a 是等比数列,并求{}n a 的通项公式; (2)若2

1

1++

=n n n a a b ,且数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:1<n S .

11.(本小题满分14分)设a ax e x f x

--=)(.(e 是自然对数的底数) (Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立,求a 的取值范围;

(Ⅱ)求证:2

1

1008

)2016

2015(-<e .

12.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33,求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.

13.(本小题满分15分)已知椭圆12

:

22

=+y x C 及点)21,1(P ,过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .

(1)求点Q 的轨迹方程;

(2)求△ABQ 的面积的最小值.

数学竞赛模拟试卷(1)答案

1.【解析】

22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f . 2.【解析】由于1-=AC AB ,则只需要考虑AC 的范围.

,

故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222

=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+,1. 3.【解析】()6

tan 33tan 3tan 1

2tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πββ

β

β

βαβαβ=≤

+=

+=+-=

-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β, .6

π

=-∴βα

4.【解析】由题意可知, 4

π

=∠CDB ,且∠BDA 与∠CDA

之和为

2

π

.如图,将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2,且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF 周长的最小值即面C DB AB 21上两点2

1,B B 之间的线段长.

,

4

3422121πππCDB ADC DA B DB B =+=

∠+∠+∠=∠, 由余弦定理可得,.DB B D B D B D B D B B B 2222211cos 22121222121+=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⋅-+=∠⋅⋅-+= 所以,△BEF 周长的最小值为22+.

5.【解析】x x x f 3)(3+=为奇函数且为增函数0)2()8(<+-x f mx f 等价于

)2()2()8(x x f f mx f -=-<-即x mx 28-<-即082<-+x mx 对任意的[]2,2-∈m 成

立即⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+0

8220822x

x

x x ,所以⎩⎨⎧<<<<4020x x ,即0<x <2 6.【解析】由)(2b c a b -=-得c a b 3231+=所以

c a c a b ⋅++=94

9491222, 又3::2||:||:||k c b a =,所以]9

64,916[cos 9249402

∈+=αk ,又*N k ∈,所以k =2,所以αcos 的值为6

1

-.

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