2005年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案
(黑龙江
广西内蒙古新疆)
源头学子小屋 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页3到10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名 、准考证号 、考试科目涂写在答题卡上
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑擦干净后,再选涂其它答案标号不能答在试题卷上
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 2
4R S π=
如果事件A 、B相互独立,那么 其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 3
3
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)k K n k
n n P k C P P -=-
一、选择题
(1)函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是 (A )
4
π
(B )
2
π
(C )π(D )2π
(2)正方体1111ABC D A B C D -中,P 、Q 、R 分别是A B 、A D 、11B C 的中点.那么,
正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
(A )三角形(B )四边形(C )五边形(D )六边形 (3)函数2
1(0)y x x =-≤的反函数是
(A ))y x =≥-1(B ))y x =≥-1
(C ))y x =
≥0(D ))y x =≥0
(4)已知函数tan y x ω=在(,)22
ππ
-
内是减函数,则
(A )0＜ω≤1(B )-1≤ω＜0(C )ω≥1(D )ω≤-1 (5)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为
(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 (6)双曲线
2
2
14
9
x
y
-
=的渐近线方程是
(A )23
y x =±(B )49
y x =±(C )32
y x =±(D )94
y x =±
(7)如果数列{}n a 是等差数列,则
(A )1a +8a ＜4a +5a (B )1a +8a =4a +5a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =4a 5a
(8)10
()
x -
的展开式中64x y 项的系数是
(A )840 (B )-840 (C )210 (D )-210
(9)已知点A ,(0,0)B ,0)C .设B A C ∠的平分线A E 与B C 相交于E ,那么有BC CE λ=
,其中λ等于
(A )2(B )
12
(C )-3(D )-
13
(10)已知集合{}47M x x =-≤≤,{}
2
60N x x x =-->,则M N 为
(A ){42x x -≤＜-或}37x ＜≤(B ){42x x -＜≤-或}37x ≤＜ (C ){2x x ≤-或}3x > (D ){2x x ＜-或}3x ≥
(11)点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-(即点P 的运动方向与v 相同,
且每秒移动的距离为v 个单位).设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后 点P 的坐标为 (A )(-2,4)(B )(-30,25)(C )(10,-5)(D )(5,-10)
(12)A B C ∆的顶点在平面α内,A 、C 在α的同一侧,A B 、B C 与α所成的角分别是
30
和45
.若A B =3,B C =A C =5,则A C 与α所成的角为
(A )60 (B )45 (C )30 (D )15
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚
3.本卷共10小题,共90分
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上
(13)在
83
和
272
之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____.
(14)圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________. (15)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_____________个.
(16)下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是_____________.(写出所有真命题的编号)
三 、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)
已知α为第二象限的角,3sin 5
α=,β为第一象限的角,5cos 13
β=
.求tan(2)αβ-的
值.
(18) (本小题满分12分)
甲 、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响. (Ⅰ)前三局比赛甲队领先的概率;
(Ⅱ)本场比赛乙队以3:2取胜的概率. (精确到0.001)
(19)(本小题满分12分)
已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列.又21n
n b a =
,
1,2,3,n =….
(Ⅰ)证明{}n b 为等比数列; (Ⅱ)如果数列{}n b 前3项的和等于
724
,求数列{}n a 的首项1a 和公差d .
(20)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P D ⊥底面A B C D ,AD PD =,E 、F 分别为C D 、P B 的中点. (Ⅰ)求证:E F ⊥平面P A B ;
(Ⅱ)设AB =,求A C 与平面AEF 所成的角的大
小.
(21)(本小题满分14分)
设a 为实数,函数32()f x x x x a =--+. (Ⅰ)求()f x 的极值;
(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点.
(22)(本小题满分12分)
P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2
2
12
y
x +
=上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.
已知PF
与F Q 共线,M F
与F N 共线,且0PF MF ⋅= .求四边形PMQN 的面积的最小值和最大
值.
2005年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案
(必修+选修Ⅱ)
(黑龙江
广西内蒙古新疆)
参考答案
1-6: CDBBDC
(2)分析:本题主要考查学生对截面图形的空间想像,以及用所学知识进行作图的能力,
通过画图,可以得到这个截面与正方体的六个面都相交,所以截面为六边形,故选D. 13. 216;
14. 22(1)(2)4x y -+-=.
分析:本题就是考查点到直线的距离公式,所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x -12y -7=0
的距离:2r =
=,再根据后面要学习的圆的标准方程,就容易得到圆的
方程:222(1)(2)2x y -+-=王新敞
15. 192; 16. ①,④
分析:②显然不对,比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况,侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等,说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等,根据射影长的关系,可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等由于在底面所在
的平面内,到底面三边所在直线的距离相等的点有4个:内心(本题的中心)1个 、旁心3个三棱锥是正三棱锥
(17)(本小题满分12分)
解:∵α为第二象限角, sin α=35
,∴cos α= -45
, t a n α= -34
, t a n2α= -
24
7
又∵β为第一象限角, cos β=
513, ∴sin β=
1213
, t a n β
∴tan(2)αβ-=
2412
tan 2tan 7
524
121tan 2tan 175
αβαβ
-
--=
=+⋅-⨯
(18)(本小题满分12分)
解:⑴前三局比赛甲队领先分为两种情况:
①前三局比赛中甲队全部获胜,其概率为P 1=330
3(0.6)(0.4)C ⨯=0.216;
②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败,其概率为P 2=221
3(0.6)(0.4)C ⨯=0.432
故前三局比赛甲队领先的概率为:P =P 1+P 2=0.648
⑵本场比赛乙队以3:2取胜,则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局 、在第五局比赛中获胜,其概率为P =2224(0.6)(0.4)0.4C ⨯⨯=0.13824≈0.138
(19)(本小题满分12分)
⑴证明:设{a n }中首项为a 1,公差为d .
∵lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列 ∴2lg a 2=lg a 1·lg a 4 ∴a 22
=a 1·a 4. 即(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ) ∴d =0或d =a 1
当d =0时, a n =a 1, b n =
1211n
a a =
, ∴
11n n
b b +=,∴{}n b 为等比数列;
当d =a 1时, a n =na 1 ,b n =
1
21
12n
n
a a =
,∴
112
n n
b b +=
,∴{}n b 为等比数列
综上可知{}n b 为等比数列
⑵当d =0时, b n =
1211n
a a =
, ∴b 1+b 2+b 3=
13a =
724
∴a 1=
727
;
当d =a 1时, b n =
1
211
2n
n
a a =
∴b 1+b 2+b 3=
1
1
1
1
1
1177248824
a a a a +
+
=
=
∴a 1=3
综上可知17270
a d ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
或 133a d =⎧⎨
=⎩
(20)(本小题满分12分)
解法一:⑴取P A 中点G , 连结FG , DG
////////1
212BF FP FG AB FG D E
C E E
D D
E AB D EFG E
F D
G ⎫
=⇒⎪
⎪⇒⎬⎪=⇒⎪⎭
⇒⇒=
==
=
四边形为平行四边形
PD ABCD PAD ABCD AB PAD AB AD ⊥⇒⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
平面平面平面平面又
//PAB PAD PD AD AG PA D G PAB
EF PAB PG G A AG PAD EF D G ⎫
⇒⊥⎫
⎪⎪
=⎫⎪
⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎪
⇒⊥=⎬⎭⎪
⎪⎪⊂⎭
⎪
⎪⎭
平面平面平面平面平面 ⑵设AC , BD 交于O ,连结FO .
12PF BF FO PD FO ABC D BO O D PD ABC D ==⎫⎫⇒⎬⎪⇒⊥=⎬⎭⎪
⊥⎭
平面平面
设BC =a , 则AB
, ∴P A
, DG
2
a =EF , ∴PB =2a , AF =a .
设C 到平面AEF 的距离为h . ∵V C-A EF =V F-A CE , ∴1
11132
32
E F A F h C E A D F O ⨯
⋅⋅=
⨯
⋅⋅.
即
2
2
2
a a a h a a ⋅⋅=
⋅⋅
∴2
a h =
.
∴AC 与平面AEF
所成角的正弦值为
6
h A C
=
=
即AC 与平面AEF
所成角为arcsin
解法二:以D 为坐标原点,D A 的长为单位,建立如图所示的直角坐标系, (1)证明: 设(),0,0E a ,其中0a
>,则()()()()112,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,1,,,22C a A B a P F a ⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
()()110,,
,2,1,1,2,0,0,0,22
EF PB a AB a EF PB EF PB ⎛⎫==-=⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭
,
0,AB EF AB EF
⋅=∴⊥
又,,P B
P A B A B P A B P B A B B
⊂⊂= 平面平面,
E F P A B
∴⊥⊂平面
(2
)解:由,
AB
=
得2
a
=
,
可得
))1,0,1AC PB =-=-
cos ,6AC PB AC PB AC PB
⋅〈〉==
⋅
,
则异面直线A C ,P B
所成的角为6
,
11,,0,222AF AF PB AF PB
⎫
=-∴⋅=⊥⎪⎪⎝⎭
,
又PB EF ⊥,AF 为平面A E F 内两条相交直线,
P B A E F
∴⊥平面,
∴A C 与平面A E F
所成的角为arccos
arcsin 2
66π
-=⎝⎭
,
即A C 与平面A E F 所成的角为
arcsin
(21)(本小题满分14分)
解:⑴令2()3210f x x x '=--=得:121,13
x x =-=.
又∵当x ∈(-∞, 13
-)时, ()f x '>0;
当x ∈(13
-
,1)时, ()f x '＜0;
当x ∈(1,+∞)时, ()f x '>0
∴113
x =-
与21x =分别为()f x 的极大值与极小值点.
∴()f x 极大值=1
5()3
27
f a -=+
; ()f x 极小值=a -⑵∵()f x 在(-∞, 13
-
)上单调递增, ∴当x →-∞时,()f x →-∞;
又()f x 在(1,+∞)单调递增, 当x →+∞时, ()f x →+∞
∴当()f x 极大值＜0或()f x 极小值>0时,曲线()f x 与x 轴仅有一个交点. 即5027
a +
＜或1a ->0, ∴a ∈(-∞, 527
-
)∪(1,+∞) (22)(本小题满分12分)
解:∵0PF M F PF M F ⋅=⇒⊥
. 即MN PQ ⊥.
当MN 或PQ 中有一条直线垂直于x 轴时,另一条直线必垂直于y 轴. 不妨设MN ⊥y 轴,
则PQ ⊥x 轴
∵F (0, 1) ∴MN 的方程为:y =1,PQ 的方程为:x =0 分别代入椭圆2
2
12
y
x +
=中得:|MN
PQ
.
S 四边形PMQN =12
|MN |·|PQ |=12
=2
当MN ,PQ 都不与坐标轴垂直时,设MN 的方程为y =kx +1 (k ≠0),代入椭圆2
2
12
y
x +
=中得:(k 2+2)x 2
+2kx -1=0,
∴x 1+x 2=2
22
k
k -
+, x 1·x 2=2
-
∴||2
M N k =
=
=
+
同理可得:2
2
||PQ =
S 四边形PMQN =
12|MN |·|PQ |=4
2
4
2
2412252
k k k k ++⨯
++=24
2
2
2
12(1)2(1)252
2(1/)5
k
k k k k -
=-
≥
++++(当且仅当2
2
1
k k
=
即1k =±时,取等号).
又S 四边形PMQN =24
2
2(1)2252
k
k k -
＜++,∴此时
169
≤S
四边形PMQN
2＜综上可知:(S 四边形PMQN )max =2, (S 四边形PMQN )min
