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时间:2020-08-15 10:28  编辑:敦化统计局

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华盛顿的傍晚

亲爱的小朋友们:

“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿,有一位中年人,他聪明又勤奋,他潜心探讨,他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德

便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说:“

请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩说:“先生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。加菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下:

两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ,

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

(AC +DE )×CD÷2=AC×BC÷2+BD×DE÷2+AB×BE÷2

(a +b )2÷2=a×b÷2+a×b÷2+c×c÷2

化简整理得a 2+b 2=c 2

课前预习

勾股定理与弦图

点评:此种解法主要利用了三角形的面积公式:底×高÷2,和梯形的面积公式:(上底+下底)×高÷2. 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪?

在我国古代,把直角三角形叫做勾股形。

把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即:在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。

公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五.既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五.

三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实.

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦.句短其股,股短其弦.

句股各自乘,并,而开方除之,即弦.

勾股定理的证明: (1)方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:

()22222142.

ABCD S a b c ab a b c =+=+⨯∴+=正方形

_ D

_ C _ B _ A

(2)方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:

()22222142.

S c a b ab a b c =-+⨯∴+=正方形EFGH

(3)方法三:“总统”法.

如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形: 2()()112222

ABCD a b a b S ab c ++==⨯+梯形 222.a b c ∴+=

勾股定理:

直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方.

注:勾——最短的边、股——较长的直角边、

弦——斜边。

勾股定理实际上包含两方面的内容: ① 如果一个三角形是直角三角形,那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方;

② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么它一定是直角三角形.

勾股数:

满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

弦图:

知识框架

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B c b a

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