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宜家抠b韩国宜家抠b中午字幕

时间:2020-07-09 18:45  编辑:承德林业局

宜家抠b韩国宜家抠b中午字幕

各章习题选解

(仅供参考) 第一章习题

1. (√) 在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中,由原料A生产物质B,若浓度为c 0流量为Q 的A溶液加入空反应器,反应遵循以下连串-可逆步骤

C B A k k

k −→−−−←−→−32

1 且所有的反应均为一级,证明在反应器中B的克分子数N B 是以下微分方程的解

C RN dt dN P dt N d B B

B =++2

2

式中

1

031321k Qc C k k R k k k P ==++=

证明:对A 、B 分别作质量衡算,有

A :)1(210dt dN N k N k Q c A

B A =

+- B :)2(321dt

dN N k N k N k B

B B A =

--

由(2)得到:

102(3)A

A B dN k N c Q k N dt

=+-

(3)代入(2),得:

210131232

()(4)B B

B dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++

123130,,P k k k R k k C c Q =++==

22(5)B B

B d N dN P RN

C dt dt

++=

证毕。

2. 冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层,冰层上方与温度为T w 的空气接触,下方与温度为0℃的池水接触。当T w <0℃时,水的热量将通过冰层向空气中散发,散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为L f ,冰的密度为ρ,导热系数为k ,导温系数为α,求:

1) 当气温T w 不随时间变化时,给出冰层厚度随时间变化的关系,若L f =3.35×105J/kg ,ρ=913kg/m 3,k =2.22W/m °K ,T w =-10℃,问冰冻三尺,需几日之寒?

2)当气温随时间变化时,设T w =T w (t)已知,导出冰层厚度变化的完整数学模型。 解:

(1) 冰层的温度为0℃,水通过冰层向空气散发热量,记为Q ,该热量用于水结成冰。假设冰

层面积为s ,厚度为l 根据导热方程,可得:

sdl L dt l

s

T k Q f w ρ=-=)0(

代入数值,L f =3.35×105J/kg ,ρ=913kg/m 3,k =2.22W/m °K ,T w =-10℃,l =1m , 求解积分上式得:

⎰⎰=⨯⨯100511035.39132

.22dt dt t

t =79.7天≈80天

若冰冻三尺,在T w =-10℃时,需要约80天。

(2) 若T w =T w (t),冰层厚度为l 根据热量守恒:

sdl L dt l

s

T k Q f w ρ=-=)0(

dt kT ldl L w f =ρ

两边积分:

dt kT ldl L t

w l

f ⎰⎰

=00

ρ

⎰=t f Twdt k l L 0

25.0ρ

厚度变化与T w 的关系为:

⎰=

t

w

f dt T

L k l 0

3. (√) 在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应,反应速率常数由 Arrhenius 关系式给出,反应热由釜内的冷却盘管移出,请自行设定有关的参数,导出该反应器的数学模型。

解:设物料以恒定的体积流量F 加入,则反应器中反应物浓度C A 与温度T 由以下物料衡算与热量衡算方程给出

1物料衡算方程

00()(1)exp()A A A A d VC FC Vr dt

r kC V V Ft E

k k RT

+=⎪⎪

=-⎪⎨

=+⎪⎪=-

⎪⎩

2能量衡算方程 0()

()()(2)p p c A r d C TV F C T K T T A kC V H dt

ρρ--+-∆=

1○2合并,得数学模型为 00000()

()()()(3)exp()

(0)0,(0)A A p p c A r A d VC kVC FC dt d C TV F C T K T T A kC V H dt V V Ft E k k RT c T T ρρ⎧+=⎪⎪

--+-∆=⎪⎪

=+⎨⎪⎪=-⎪

⎪==⎪⎪⎩

式中K (T -T c )A 为冷却移热,kC A V (-ΔH r )为反应热。

4.(√)采用微元分析法推导出柱坐标系中的不定常热传导方程。

解:考虑柱坐标系中热传导方程的形式。柱坐标系下的三个空间变量:向径r ,经度角θ,高度z 。在这三个方向上,与自变量的微分变化所对应的线段微元长度分别是

(,,) d dr rd dz θ=(4)r

由偏导数的定义,温度梯度∇T 在三个方向的分量即温度在每个方向上的微元增量除以相应的

线元长度,即

(

,,) T T T T r r Z

θ∂∂∂∇=∂∂∂(5) 于是Fourier 热传导定律在柱坐标系中的分量形式为

,,-(

,,) r z T T T q q q k r r Z

θθ∂∂∂=∂∂∂()(6) 接着考虑各方向输入和输出的微元通量,首先考虑r 方向

()() ()()() T

k

rd dz r

T T

k rd dz k r drd dz r r r θθθ∂-∂∂∂∂--∂∂∂输入项:(7)输出项:(8)

于是r 方向的净输入通量为:()T k r drd dz r r

θ∂∂∂∂ (9) 对θ方向作同样的分析,

()() ()()() () T

k

dr dz r T T

k dr dz k drd dz r r T

k drd dz r θθθθθ

θθθ∂-∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂输入项:(10)输出项:(11)净输入通量: (12)

z 方向的分析,()() ()()() () T

k

rd dr z T T

k rd dr k r drd dz z z z

T

k r drd dz z z

θθθθ∂-∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂输入项:(13)输出项:(14)净输入通量: (15)

微元体内的积累项:()p

T

C dr rd dz t

ρθ∂∂ (16) 将三个方向输入微元的热流净增量加和并令其等于积累项,就得到

22222

11[()]T T T T r t r r r r z αθ∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ (17) 5. 风吹过皮肤表面时,人会有干燥凉爽的感觉,这是因为风的吹拂强化皮肤表面的对流

传热与传质,形成一个速度,温度,浓度(含水量)的边界层,设流动为层流(微风),考虑出汗的蒸发潜热,求:

1)列出皮肤表面的三传问题的边界层方程,根据实际情况适当简化并给出问题的边界条件;

2)将上述问题无量纲化,并解释所得到的各无量纲参数的物理意义;

3)试分析速度分布,温度分布,含水量分布分别与哪些无量纲参数有关,并用简单的函数关系示意;

4)根据所得结果定性的解释一些经验常识:为什么风越大越感觉到冷?为什么出汗后擦了汗感觉更凉快?当空气中湿度变化时,对表面散热会带来哪些影响?在冬天和夏天,人体对空气湿度的增加会有什么样的感觉? 解:

1)同时考虑流动传热传质时的边界层传递方程是

2222p i

22i

i 2

(()()

T T C (k ()Hr y y c c (D y y

x x i u u p u u g T T g C C x y x y T u u x y c u x ρυμρβρξρυμρυρ∞∞∂∂∂∂+++-+-∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂ i )=-)=)=

x g 表示重力在x 方向的分量,β为热膨胀系数,ξ为密度变化系数

H 水汽化潜热 i r 水蒸发速度

由于

p x ∂∂可忽略,0x g =,2

()u y

∂∂可忽略, 化简后

22

2p i 22i

i 2

(T T C (k Hr y y c c (D y y

i u u u u x y y

T u x c u x ρυμρυρυρ∂∂∂+∂∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂∂+∂∂∂ i )=)=)=

边界条件

y =0, u =0(皮肤表面气流速度) T =T 0(皮肤表面温度) c =c 0(皮肤表面的含水量) y =δ1 u =u ∞(速度边界层外气流速度) y =δ2 T =T ∞(温度边界层外气流温度)

y =δ3 c =c ∞(浓度边界层外气流中含水量浓度)

δ1,δ2,δ3分别为速度边界层,温度边界层,浓度边界层的厚度。

2)无量纲化

000

x T c u u T T T T c c c c ν∞∞∞∏=-∏=--∏=

-

无量纲物理性质的比值

1Pr v T c i

Sc

D μμμ

αμ

Λ==Λ==Λ=

=

无量纲化后

22

2T T i 2

p p 2c c

i 2

Hr k

y C y C D y y v v v

v v v T T T T c c c u x y v y u x T u x c μυυρρυ∞∞∞∞∂∏∂∏∂∏∏+∏∂∂Λ∂∂∏∂∏∂∏∏+∏+∂∂Λ∂∂∏∂∏∂∏∏+∏∂∂Λ∂ =

==

边界条件 在

0,0,1

y y =∏==∞∏=

对于较大的Pr 或Sc ,热传导与扩散效应与黏性比较相对较弱,热边界层和扩散边界层位于速度边界层内部,反之,对于较小的Pr 或Sc ,热传导与扩散速率大于黏性传递速率,热和扩散边界层就有可能扩展到速度边界层之外。

3)速度分布,温度分布,含水量分布的简单函数关系式

000

000

(1)1(1)1(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)x

x

T T T c c c u u u u T T

T T T

T c c

c c c

c ννν∞

∞∞=∏∏≤=∏≥=+-∏∏≤=∏≥=+-∏∏≤=∏≥

4)风越大,皮肤表面的气体更新速度越快,水的蒸发速度变快,传热越快,感觉到冷 出汗后感觉更凉快,是因为减小了汗水层的厚度,蒸发速度加快 当空气中湿度变大时,皮肤表面水的蒸发速度变慢,不利于传热 夏天空气湿度增加,汗水蒸发困难,人感觉闷热

冬天空气湿度增加,少量的汗水在皮肤表面使人感觉温暖。

6.(√)在管式反应器模型(1.4.15)中,当Pe →0时,相当于完全返混的情况。试从方程(4.15)出发,通过适当的体积积分和取极限Pe →0,导出均相釜式反应器模型。

解:当Pe →0时,由原方程(4.15)及边界条件可知,c =const ,说明在完全返混的情况下,反应器内具有均匀的浓度。对于任意的Peclet 数,对方程4.15进行体积积分

得到

21

111200001

1

00

11c c

c dz Dacdz dz dz Pe z z c c Dac c Pe z θθ∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂-+-∂∂⎰⎰⎰⎰= (31)

式中c 为反应器内的平均浓度。 将边界条件(4.15)代入(31),得到

110c 0z dc

Dac c d θ

θ=⎧=--+⎪

⎨⎪⎩

=, (0)= (32) 上式对任意Peclet 数均成立,仅当Pe →0时,反应器内浓度均匀,1c z c ==,上式成为无量纲的理想混合釜式反应器数学模型。

7. (√) 烯烃在Zieglar -Natta 催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述,如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒(图中阴影部分)表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部,外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物

壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求: (i )证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述

221()M M D r t

r r

r ∂∂∂=∂∂∂

R r s W r

M

D M dt dR =∂∂=|ρ 式中M为单体浓度(mol/m 3),ρ

s

为聚合物壳层的密度(kg/m 3),D 为单体在壳层中的扩散系数

(m 2/s), M W 为单体的分子量,R 为聚合物颗粒的半径。

(ii )设催化剂核半径为r c ,单体在外部气相本体中的浓度为M B ,以上述参量为r 和M 的特征尺度,并引入适当的时间尺度,将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别(ρs /ρg ~103)将问题进一步简化。

(iii )设单体在催化剂核表面的浓度恒为0(瞬时反应),R 的初始值为R 0(R 0> r c ),求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径R 随时间的变化关系。 提示:对单体的浓度分布可采用拟稳态假定。

解:为简化计算,令单体分子量M w 的单位是kg (1) 问题建模

如图1所示,对微元dr 作物料衡算

2()()0(18),4MA dr AJ dr t r M J D A r r π∂

∂⎧+=⎪⎪∂∂⎨

∂⎪=-=⎪∂⎩

221()(19)

M M

D r t r r r

∂∂∂=∂∂∂ 如图2.对微元dR 作物料衡算

2244(20)s w r R

R dR M

R M D dt r

πρπ=∂=∂

(21)w r R

s M D dR M

dt r

ρ=∂=∂

R r

r dr +

R

R dR

+

图1

图2

(2) 无量纲化与简化

分析:本问题存在着两个特征时间尺度,一个是单体组分内扩散通过聚合物壳层的时间尺度

21c r D τ=,该尺度可以从内扩散方程(19)中得出,为此,近似取1M

τ代替M t ∂∂,M/r 代替M r ∂∂,

M/r 2

代替22M

r ∂∂,就可估算出21c r D

τ=;另一个是聚合物颗粒生长的特征时间尺度τ2,可以从方

程(20)中用类似的比值代替微分的办法估算出211s

g

ρτττρ= 。在对问题进行无量纲化时,不同时间尺度的选择代表着所关注的不同过程。

○1如果选取2

1

c r D

τ=为时间尺度,式(20)和(21)可分别无量纲化为(仍然用当前变量表示无量纲变量):

221()(22)(23)

c

R r r M M

r t r r r

dR M

dt r ε=

∂∂∂=∂∂∂∂=∂ ,

1g

g B w s

M M ρρερ==

此时式(23)中出现一个小参数ε 。时间尺度τ1称为快时间尺度,选择这一尺度所得到的方程(22)中不含有小参数ε,表示我们关注的是单体M 通过聚合物壳层的不定常扩散而不是粒子的生长。略去(23)中的小参数项后得到R const =,说明在考虑单体内扩散时,由于时间较短,可以将粒子半径作为常数考虑。

因此,选择τ1为时间尺度显然不妥,得到的不是我们希望关注的问题。

○2如果选取22

c s

g

r D ρτρ=为时间尺度,(20)、(21)式可无量纲化为:

221()(25)(26)c

R

r r M M

r t r r r

dR M

dt r ε

=∂∂∂=∂∂∂∂=∂ 此时粒子生长方程(26)不含小参数,粒径将随时间变化,表示我们关注的是颗粒的生长。而单体内扩散方程(25)中的时间导数项含小参数ε,可以略去,说明在慢时间尺度τ2上考虑粒

子生长时,单体的内扩散过程可以忽略时间变化项,内扩散可以作为拟稳态过程来考虑。

从○1和○2中得到的不同简化模型说明时间尺度的选择需要根据建模目的来考虑,使简化后

的模型能够代表所关注的过程的主要特征。

(3)对单体的浓度分布作拟稳态(时间导数项为零)假设,即(25)中的0M

t

ε

∂=∂,得 22

1()01,0

(27),1

c M

r r r r r M R

r M r ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪

==⎨⎪⎪==⎪⎩

解得

1(1)

(28)c

R M r R r =--

代入(26),得

2

0()(29)(0)c c c r dR dt R R r R R r ⎧=⎪

-⎪⎨

⎪=⎪⎩

解得

()232320032303232c c c c

R r R R R r t r r -=+-

8. 在缺乏数学模型的某些情况下,仅仅根据量纲分析或尺度比较也可以获得一些很有价值

的结果,考虑以下例子:

1) 对于固体颗粒在黏性流体中的Stock 流动问题,颗粒受到的阻力f 仅仅与颗粒尺度d ,动力学粘度μ和速度υ有关,即

f =f (d ,μ,υ)

根据量纲齐次化的要求,物理方程等式两边的量纲应该相同,而有参数d ,μ,υ组成的具有离地量纲的参量只可能是d μυ,因此上述函数关系只可能取一下形式,

f =Ad μυ

式中A 是一个只与颗粒形状有关的常数,上式即为Stock 定律。

现根据上述量纲分析方法分析湍流的消磁度运动。湍流中存在一系列大小不同的涡旋,能量从大尺度涡旋顺序传递给消磁度涡旋,同时将机械能耗散为热能,其中最小的涡旋尺度称为Kolmogorov 尺度,在这个尺度上,黏性和能量耗散占优,因此只有运动学粘度v (m 2/s)和能量

耗散速率ε(W/Kg )两个产量起作用,其他物理量都可以用这两个量表示。试根据量纲齐次化原理推导出Kolmogorov 尺度λ及局部速度υλ与v ,ε的关系(可相差一个常数) 2)流体在自由空间中的射流形成一个夹角为α的圆锥型区域,如图所示,设U =U (x )为距喷口x 处的平均流速,R =R (x )为x 处的射流半径,试根据总动量22U R ρ沿x 方向守恒的要求确定速度U 和射流区总流量2UR Q =沿x 的变化关系(可相差一个常

数)

3)对于放热反应,当反应器尺寸增大时,其体积按长度的三次方增长,而表面积却按平方增长,因此体积增大有利于热量的增加,而体积减小有利于冷却散热。这是化学工程中说明“放大效应”的一个典型例子。根据类似的道理解释为什么生活在寒冷地区的动物一般体型较大(例如北方人就比南方人高大),而且形状趋于圆滑,而热带地区的动物体型较小且趋于瘦长(例如南方人比北方人相对较瘦,且身体凸出部分的轮廓更为明显)。 解:

1)分析:题中出现的符号意义如下 Kolmogorov 尺度λ m 能量耗散速率ε W/Kg 运动学粘度v m 2/s 局部速度λυ m/s

从f =Ad μυ可知f 量纲与d μυ相同, 又ε的量纲W/Kg 与

f V

υ

ρ的量纲相同 (f 力-N ,υ速度-m/s ,ρ密度-Kg/m 3,V 体积-m 3) 可知V 与λ3量纲相同,f 与λv λυ量纲相同,υ与υλ量纲相同, 带入ε=

f V

υρ中 3

=

v λλ

λυυελ 22

v λυε

λ=

2)分析:

总动量2

2

U R ρ沿x 方向守恒,设2

2

U R ρ=C (C 为常数)。 又R tg x α=,将R 带入总动量表达式中,

习题8:湍动射流

22()U tg x C ρα=

()

C U tg x ρα=

22

1

2()()C tg x Q UR tg x C tg x ααραρ

==

=

3)分析:

将人体看成一个反应器,食物在体内消化放出热量,除供人体正常活动所需的能量和储存在体内外,以热量的形式通过体表释放到体外。

人体散热与人体表面积和外界温度和人体温度的差值成正比,表面积与人体尺寸的平方成正比。可记为散热=A*温度差*表面积。

人体放热与人体体积成正比,体积与人体尺寸的立方成正比,可记为放热=B*体积(A ,B 为关于人体散热放热的常数)。

为保持人体温度一定,放热与散热需要平衡,散热=放热。

寒冷地区的外界温度和人体温度的差值比热带地区大,所以需要的体积与表面积比也大,即表现为人体尺寸大,也就是人的体型较大,而形状圆滑是为了减小表面积所致。 热带地区的人体型瘦长,身体凸出部分轮廓明显,可以增大表面积,方便散热。

9. 在水平液面上垂直插入一个半径为R 的毛细管,此时液体将在表面张力的拉动下沿着管中上升。弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong -Laplace 方程计算

R

Cos P θ

σ2=

∆ 式中ζ为气液表面张力,θ为气液界面与固壁之间的接触角,管中流体一方面受到毛细压强的驱动而上升,一方面又受到重力和粘性阻力的作用,设流动速度遵从粘性管流的Poiseuille 分布,求:

1) 对于两端开口的毛细管,证明液位高度H 随时间t 的变化满足以下方程

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=σρθσμ2281gR Cos H R

dt dH

式中μ为液体的动力学粘度,ρg 为重力。

2)对于上端封闭的毛细管,设总管长为l ,管内气体满足理想气体状态方程,试推导相应的液位高度H 的变化方程。

3)从上述方程中求出最大液位高度H o 和时间变化关系H (t ),据此讨论H 变化的趋势。 解:

(1) 弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong -Laplace 方程计算,同时又受到重力的作用产

生压强,总的ΔP 为: gH R

Cos P ρθ

σ-=

∆2 式中ζ为气液表面张力,θ为气液界面与固壁之间的接触角,R 为毛细管半径。

Poiseuille 分布,体积流率的表达式为:

H

P

R dt dH R dt dV μππ842∆=

= 式中μ为液体的动力学粘度,ρg 为重力。

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=σρθρθσσσσμ222281288gR Cos H R

gH R Cos H R H P R dt dH

(2) 若毛细管上端是封闭的,则ΔP 由三部分组成,还有一部分是液面上端产生的压强。

H

L HP gH R Cos P o ---=

∆ρθ

σ2 式中P o 为大气压强,L 为毛细管长。

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---

=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∆=σσρθρθσσσσμH L R P gR Cos H R H L H P gH R Cos H R H P R dt dH o o 2222281288

(3) 当达到最高液位H o 时,

0=dt

dH

,则: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

∆=σρθρθσσ

σσμ22

2281288gR Cos H

R

gH R Cos H R H P R dt dH =0

gR

Cos H o ρθ

σ2=

H

H gR RCos gR Cos H R

dt dH μρθσσρθμσ822822-=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-== ⎰⎰

=-o o

t H dt H

gR RCos H

00

228ρθσμ

积分得:

()()()()

12ln 22ln 128224

220-+--+-=

θσθσρθσθσρρμ

RCos RCos H gR RCos RCos H gR R

g t o o 从上式可以看出,H 先增高,到最大值gR

Cos ρθ

σ2后开始下降。

10. 气液两相的传质过程与色谱过程有许多类似之处,例如,气相通过反应器(鼓泡塔、板式

塔、填料塔等)的流动可以看成是溶质通过固定相的运动,气液传质阻力可类比于气固传质阻力,气液两相的逆流操作模式也与移动床相似。此外,气液两相在界面上处于平衡状态,由Henry 定律表述,与§7.2节考虑的微孔分子筛的内扩散过程类似。与色谱问题不同的是,许多气液反应器(鼓泡塔与搅拌釜)中的液相或液固两相一般都处于全混流状态,而色谱柱中固定相是静止的,移动床中固体接近平推流。试根据与移动床的类比建立如图所示的鼓泡塔反应器的稳态数学模型,图中气体从塔底加入,经分布器之后形成分散的气泡并在液体中浮升,最后从容器的上部输出;液体则从塔顶加入,从底部流出。气相中的组分A 被液体吸收后在液相中发生一级化学反应。鼓泡塔中气相的流动可考虑为平推流,液相考虑为全混流。其它已知的参数为:鼓泡塔液位高度l ,气含率εg ,空塔气速U ,加入液体的质量流率F ,单位体积气液传质系数k L a ,一级反应动力学常数k A ,Henry 系数H A 。所建立的数学模型要求包括以下内容:

1)设c g 和c L 分别为反应组分在气相和液相中的浓度,给出其方程和边界条件; 2)如果是强放热反应,反应热通过溶剂蒸发和气液相的连续流动移出,请自行设定有关物性参数,给出温度T 满足的方程。

解:数学模型一般包括物料衡算、热量衡算和动量衡算,对于鼓泡塔的气液反应体系,气液两相的温度场计算是不必要,因为塔内混合良好,温差很小。动量衡算也非必要。物料衡算是要考虑到对流、相间传质、轴向分散及化学反应等影响因素。

(1) 假设塔内等温,作气相及液相的物料衡算:

气相:])/([])/([1)(t

U F l Z U F E Z l U F U F H l k Z F g ig g g ig Zg g l il g ig

l ig ∂∂=∂∂∂

+-⋅+∂∂-εεα

流入项 传质项 返混项 积蓄项

液项:

])/()1[(])/()1[(1)(t

U F l kc Z U F E Z l U F U F H l k Z F l il g l l il Zl g l il g ig l il ∂∂-=+∂∂-∂

+-⋅+∂∂-εεα流入项 传质项 返混项 反应项 积蓄项

式中:R g g ig A U c F ⋅⋅= g g U U ε⋅= ()

R

g c A F

U ρε⋅

-=1 L

G

L

气体分布器

G

l

液位

习题10:鼓泡塔反 应器

假设 气相平推流 0=Zg E 液相全混流 1=Zl E 边界条件:

气相:Z =0:0ig lg F F = Z =1: 0/=dZ dF ig

液相:Z =0: 0/=dZ dF il Z =1: ()[]1(1)(1)(1)t g il il il D d F F F l

dZ

ε--+=-+

(2) 进气温度为T g ,液体为T l ,气体热容c g ,液体热容c p ,液体的质量流量F l ,气体的质量流

量F g ,单位时间反应热为Q ,C 为常数。

鼓泡塔内温度均匀,塔内温度和排出的气体液体温度均记为T ,根据能量守恒:

()()dt

dT C

Q T T c F T T c F g g g l p l =+-+-

11.填料塔广泛用于气体吸收,气液两相采用逆流操作,液体从塔顶均布后加入,沿填料表面成液膜下降,气体从塔底加入,沿塔上升并与液体实现逆流接触,气体中的活性组分被液体吸收后从塔底流出,净化后的气体从塔顶排出,如图所示。设从塔底加入的气体中含有待吸收组分A 和惰性气体,惰气流量为G (mol/s ),从塔顶加入的液体惰性溶剂的流量为L (mol/s ),组分A 在液相中以一级反应进行分解,给定塔的直径D 和塔高H 、单位体积填料的液体持液量εL (m 3

/m 3

)和气液传质系数k L a ,以及化学反应速率常数k A 、气液相Henry 系数H A ,试用微元分析法建立一数学模型,描述气相浓度y A (mol/mol 惰气)和液相浓度x A (mol/mol 溶剂)的沿塔分布,然后从模型中消去x A ,得到y A 的单一方程,并给出适当的边界条件。

提示:可假设在气液界面上满足Henry 定律,则两相传质速率为k L a (y A -H A x A )。

解:

分析

此填料塔用于气体的化学吸收,塔内物料平衡涉及两相:气相和液相。可分别对气相及液相中的待吸收组分作质量守恒,守恒方程中将涉及到的未知量包括:待吸收组分A 在气相中的浓度y A (molA/mol 惰性气体)和待吸收组分A 在液相中的浓度x A (molA/mol 溶剂)。守恒方程数与未知量数均为2,在给定边界条件下可以得到微分方程的特解。

假设

1 设待吸收组分A 在液相中的反应速率为:

d h

气体进G, y b

液体出L, x b

H

气体出G, y a

液体进L, x a

y A +d y A

x A +d x A

y A

x A

习题11:填料吸收塔

A

A A dc r kx dt

-==

该反应为一级反应,反应速率常数为k (单位 mol/m 3·s )

2 设吸收塔在连续操作过程中处于稳态,进而在质量衡算方程中涉及到的积累

项均为0

解答步骤

在填料塔任一高度h 处取一厚度为dh 的体积微元(见习题11图),分别考虑微元中气相和液相的待吸收组分A 的质量守恒:

气相 ()G A A 输入项=y +dy

a 输出项=y G+气液相间的质量传递量

式中 气液相间的传质方向是由气相到液相,因而传递量属于输出项,其传质速率为:

()L A A A k a y H x -,其中k L 是以气相摩尔分率差()A A A y H x -为总传质推动力的总传质系数

(单位 kmol/(m 2·s ·Δy)),a 是单位体积填料层所提供的有效传质面积(单位 m 2传质面积/m 3填料体积)。因而:

()2

4

L A A A D k a y H x dh π=-⋅

气液相间的质量传递量

式中 D 是填料塔直径,

2

4

D dh π为所取微元内的填料体积。

()2

4

L A A A D k a y H x dh π-⋅

a 输出项=y G+

由于气相中不发生待吸收组分A 的分解反应,因而:

0=生成项

吸收塔处于稳态操作,因而:

积累项=0

根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

即:

()()2004A A A L A A A D y dy G y G k a y H x dh π⎡⎤

+-+-+=⎢⎥⎣⎦

整理得:

()

2

04

A L A A A D Gdy k a y H x dh π--=

()204

A L A A A dy D G k a y H x dh π--= 液相:

A x L =+输入项气液相间传质量

式中气液相间的传质方向是从气相到液相,因而传弟量属于输入项,它的大小与气相输

出项中的气液传质量相同,为:

()2

4

L A A A D k a y H x dh π=-⋅

气液相间的质量传递量

因而:

()2

4

L A A A A D k a y H d x L x h π-⋅=+输入项

()A A x dx L =+输出项

2

4

A L D r dh πε=-⨯

⨯生成项

式中-r A 为组分A 在液相中的应反应速率,单位:mol/m 3

·s 。而2

4

L D dh πε⨯是在所取填

料微元中的持液量。

A

A A dx r kx dt

-=-

=- 2

4

A L D kx dh πε=-⨯

⨯生成项

2

4L k D dh επ=-生成项

0=积累项

根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

即:

()()2

2404

L A L A A A A A D k a y H x dh k D x L x dx L dh εππ+-⋅--+=

整理得:

()22

04

4L A A A A L dx k D L dh D k a y H x εππ--+=⋅

相应边界条件:

在填料塔底部 h=0 y A =y b 式中y b 为进料气体中组分A 的浓度 顶部 h=H x A =x a 式中x a 为进料液体中组分A 的浓度

至此,联立关于气相与液相质量守恒的两个常微分方程,并加入边界条件:

()()()()2

220111140111240

4A L A A A A

L A a A L A A A a dy D G k a y H x dh dx k D L

dh

h y y D k h H

a y H x x x επππ-⋅⎧--=--⎪⎪

⎪-=--⎨⎪==⎪⎪

==⎩+

求解此一阶常微分方程组即可得到气液相中组分A 的浓度沿着塔高方向上的分布。

下面对此常微分方程组进一步化简,消去x A ,以得到一个只含y A 二阶常微分方程。 对式(1-11-1)变形,得:

24A

A L A A

dy G y k a D dh

x H π-=

代入式(1-11-2)得到:

22222244

404A A A A L L L A L A A A dy G y dy d y k a D dh k D L G H d D h k a D d k a y H h H πεπππ⎛

⎫ ⎪ ⎪-⋅+-⎛⎫

--= ⎪⎝ ⎭ ⎪⎪⎝⎭

2222404

A A L L A A d y dy k D GL L G k a D H dh H dh εππ⎛⎫+-= ⎪

⎝⎭-

相应边界条件:

2

04A a

A

A L A a

A

h y y dy G y k a D dh

h H x x H π==⎧⎪⎪-⎨

⎪==

=⎪⎩

化简得:

2

04A a

A

A a A

L h y y dy G h H y x H k a D dh

π⎧==⎪⎨

==-⎪⎩

从而得到关于yA 的一个二阶常微分方程及其边界条件:

22

22

2

4040

4A A L L A A A a A A a A

L d y dy k D GL L G k a D H dh

H dh h y y dy G h H y x H k a D dh επππ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪

==⎨⎪⎪==-⎩

-⎪

这是一个常系数二阶常微分方程,将实际生产中的数据代入后可以很容易解出关于组分A 在气相中的浓度y A 沿塔高方向上的分布,进而得到组分A 在液相中的浓度x A 沿塔高方向上的分布。

12. 在一鼓泡容器内,初始时刻装有体积为V 的氨盐水(NH 3-NaCl -H 2O),随后以流量F 通入CO 2气体,在液相中即发生以下碳酸化反应

+-+−→−+H COO NH NH CO k 2321

(1) 33222NH HCO O H COO NH k +−→−+-- (2) 333NaHCO Na HCO k −→−++-

(3)

这是制取纯碱(Na 2HCO 3)的基本反应,是一个连串反应过程。其中反应(1)为快速反应,发生在气液界面附近的液膜之内,而反应(2)、(3)为慢反应,发生在液相本体之中。设各步反应均为拟一级反应,其中NH 3 和Na + 大大过量,其浓度可近似考虑为常数。容器中的气含率ε、气液比表面积a V 和液膜厚度δ均为已知量,液膜体积a V δ<<1,试分别对液膜和液相本体导出该反应过程的数学模型,给出分批式和连续式两种操作情况下的反应器模型。

提示:液膜中的反应-扩散过程可视为拟稳态过程,CO 2的气液界面浓度和本体浓度可设为已知,NH 2COO -的本体衡算方程需考虑液膜向液相本体的传递速率。

解: 分析: 在此串连反应中,反应(1)为快反应,其反应速率远大于反应物CO 2 在液相中的扩散速率,因而该反应只发生在气液界面附近的液膜之内,在液相本体中,CO 2的浓度已为零。反应(2)、(3)为慢反应,因而液相中反应物的混合速率远大于反应速率,即由液膜中通过反应(1)生成的NH 2COO -在还未发生显著的化学反应之前就已混合均匀,可以认为NH2COO -以及其反应产物HCO 3-在整个反应器中均匀分布。而在反应器中,液膜体积a v δ<<1,即液相本体的体积远大于液膜体积,所以反应(2)、(3)绝大部分都在液相本体中完成。

由于鼓泡反应器中液膜与液相本体中分别进行着不同的反应(对于快反应(1),主要发生在液膜中,而对于慢反应(2)、(3)则主要发生在液相本体中),因而需要分开讨论。对于液膜,可以采用拟稳态假设,即不论是分批式还是连续式操作,液膜内的物质浓度都不随时间变化,积累量均为零。对于液相本体,则需将分批式与连续式操作区分对待。

此题中鼓泡反应器所涉及到的物质包括有:CO 2、NH 3、NH 2COO -、H +、H 2O 、HCO 3-、Na +及NaHCO 3共八种,并且其浓度分布包括在液膜内浓度分布及液相本体中的浓度分布,共涉及有八个变量在分批式及连续式两种操作情况下在两个不同相(液膜及液相本体)中的浓度分布。但是,通过分析,可以先排除许多量:

1 CO 2:在本反应器中,CO 2作为反应物参加快反应(1),由前面的分析可知,CO 2在液相本体中的浓度为零,因而我们只需要求出在液膜中CO 2浓度分布即可,根据拟稳态假设,所得到的浓度分布既可用于分批式操作,也可用于连续式操作。

2 NH 3、H 2O 、Na +:在本反应器中,这三种反应物都处于大大过量,其浓度可近似考虑为常数,因而可以在反应器模型中将其作为已知量处理,并视为常数。

3 NH 2COO -、HCO 3-:由前面的分析可知,这两种物质在液相本体中均处于均匀

分布,并且它们参与的反应(2)、(3)都是在液相本体中完成,在液膜中的反应可以忽略,即液膜中NH 2COO -、HCO 3-的浓度分布对于反应器模型没有任影响。因而我们只需求得NH 2COO -和HCO 3-在液相本体中的浓度随时间的分布即可(在空间上均匀分布),而二者在液膜中的浓度分布无需涉及。

4 H +、NaHCO 3:在本反应器中,这两种物质均只出现在反应产物中,并没有以反应物的形式参加反应,并且在反应速率方程中也没有涉及,因而在建立的反应器模型中不涉及两者的浓度。

综上所述,本反应器模型共涉及:CO 2在液膜中的浓度分布,NH 2COO -和HCO 3-在液相本体中浓度随时间的分布共三个变量。其中CO 2在液膜中的浓度分布即可用于分批式操作,又用于连续式操作。而NH 2COO -和HCO 3-在液相本体中浓度随时间的分布则必须分为分批式操作和连续式操作进行讨论。 假设

1 在本题中,用符号A 指代组分CO 2,符号B 指代NH2COO ,符号C 指代HCO3-。

2 反应(1)、(2)、(3)均为拟一级反应,因而其反应速率分别为:

2

2311co co NH dc r k c c dt

-=-=

2

22

22NH COO H O NH COO dc r k c c dt -

--=-

=

3

3

33HCO HCO Na dc r k c c dt

-

-+-=-

=

3 反应器体积为V ,而反应器中气含率为ε,易知反应器中的液体量为:

(1-ε)V 。再由反应器中的气液比表面积为a v (单位:有效气液接触面积m 2/液体体积m 3),得到反应器中的液膜面积(即气液接触面积)为a v (1-ε)V ,液膜体积为:a v (1-ε)V δ。

4 假设在反应过程中反应器内的液体体积不变,即忽略反应过程中的体积变化,因此在质量衡算方程中反应器内的液体休积(1-ε)V 为常数。 解答步骤

1 液膜中CO 2的浓度分布:

液膜中CO2的反应-扩散过程可视为拟稳态过程,因而不论是分批式还是连续式均可以作为稳态处理。

由于液膜厚度远小于气泡直径,因而可以单位面积 对液膜内的CO2(用符号A 代表)作质量守恒:

1A

A dC D dx

-⨯输入项=

式中1表示单位面积,D A 为CO 2在液膜中的传质系数,由于液膜内始终处于稳态,浓度C A 不随时间变化,因而C A 仅是坐标x 的函数,CO 2的质量守恒方程为一常微分方程。

22

11A A A A A A A A dC dc dC d c d D D dx D D dx dx dx dx dx dx ⎛⎫

⎡⎤⎛⎫=--⨯=--⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭

输出项

311A NH k c c dx -⨯生成项=

积累项=0

根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

3212

A A A NH d c D dx k c c dx

= 式中C NH3为液膜中NH 3的浓度,可视为常数。 与之相应的边界条件为: [][]222200

A i i A x c co co co x c co δ

⎧==⎪⎨==⎪⎩为气液界面处的浓度

在液相本体中的浓度为

因而可以得到关于CO2(A )在液膜中浓度分布的二阶常微分方程:

[]3212200A i A A

A A NH x c d c D dx k c c dx co x c δ

⎧⎪⎪⎪

==⎨⎪

==⎩

=⎪⎪

可以解得:

[][]1311331133222221

11NH NH NH A A

A

NH NH A

A

k c k c k c D x x D D A i i k c k c D D e

c co e

co e

e e

δ

δ

δ

-⋅

=

-

--

此式即是CO 2在液膜中的浓度分布,而液膜内CO 2总的反应速率为:

()3

11A A NH R r dv k c c dv -=

-=

-⎰

⎰整个液膜V

整个液膜V

式中-R 1是在鼓泡反应器所有液膜中的反应(1)的总反应速率,单位mol/s 。 将前面得到的CO 2浓度沿x 方向上的分布代入体积积分中,很容易就可以把 体积积分变为关于x 的线积分,求得-R 1,但这里我们利用稳态模型,即CO 2 在液膜内总的反应速率-R 1应等于CO 2通过气液相界面,自气相向液相的传递 量:

()3

110

A A NH A x dc R k c c dv D

S dx

=-=

-=-⨯⨯

⎰整个液膜V

式中S 是反应器中总的气液接触面积,即液膜面积:

(1)V s a V ε=-

利用C A 沿x 方向上的分布函数,易得到:

[]1331321220

11NH A NH A

k c D NH i A

A x k c D dc dx

k c e co D e

δ

δ

=+-=

[][]1133331133221212210

21111(1)NH NH A A NH NH A

A

k c k c D D NH NH A i i

k c k c A

D A

A D A V x k c e e co k c D co D dc

R D D x

e

a d e

s V δ

δ

δ

δ

ε=-=-=-⨯-+-⨯

-

+=-

式中负号表示CO 2在液膜中的反应是作为反应物不断消耗的。

2 分批式操作中NH 2COO -和HCO 3-在液相本体中浓度随时间的分布:

在液相本体中对NH 2COO -作质量守恒方程:

1R =输入项

式中-R 1是在所有液膜中反应(1)的总反应速率(单位mol/s ),它也就等于在所有液膜中NH 2COO -的生成速率,而液膜内始终处于稳态,即所有生成的NH 2COO -都从液膜传递到液相本体中,因而在液相本体中NH 2COO -的输入项就是-R 1。

在分批式操作中鼓泡反应器内液体没产出,因而

0=输出项

222(1)(1)B H O r V k c c V εε=-=--生成项

式中(1-ε)V 为反应器中的液相体积,由于NH 2COO -在反应(2)中是反应物,在反应过程中不断消耗,因而在生成项中为负。

()1B

dc V dt

ε=

-积累项 根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

整理得:

()[]1323213212122211(1)(1)(11)NH A NH A

k c D B B H O NH A B H O i k c D V dc e

V R k c c V k c D co k c c V

dt V e

a δ

δ

εεεε+---=--=--

消去总体积(1)V ε-,得到:

[]1332132122211NH A NH A

k c D B NH A B H O i k c D V a dc e

k c D co k c c dt e

δ

δ

+=--

这是一个常微分方程,加入相应的初始条件:

0B t c COO -==2即在反应器的初始时刻氨盐水中不含NH

得到:

[]13

3213

212221100NH A

NH A

k c D B NH A B H V O

i k c D B dc e

k c D co k c c dt e t a c δ

δ

⎧⎪+=-⎪⎨⎪-⎪==⎩

对此常微分方程求解,即可得到在分批式操作条件下NH 2COO -浓度随时间的分布。

同样,在液相本体中对HCO 3-作质量守恒:

0=输入项 0=输出项

()

()22

3

231H O NH COO HCO Na k c c k c c V ε--+-=-生成项

()1c

dc V dt

ε=

-积累项 根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

得到:

()()

()2232311H O NH CO a c

O HCO N k c c dc V c V dt

k c εε--+--=- 消去总体积,得到:

22

23H O c NH COO Na c

dc d k c c k t

c c -+-=

这也是一个常微分方程,其中2

NH COO c -可以通前面NH 2COO -的质量恒算得到,

2H O c 、Na c +均为常数,可由实验得到。加入相应的初始条件:

3

0C t c HCO -==即在反应器的初始时刻氨盐水中不含 得到:

22230

0H O C NH COO N c

C a k c c k c c dc dt t c -+-⎧=⎪⎨⎪==⎩ 对此常微分方程求解,即可得到在分批式操作条件下HCO 3-浓度随时间的分布。 3 连续式操作中NH 2COO -和HCO 3-在液相本体中浓度随时间的分布:

假设在连续式操作过程中反应液的体积流量为q 。 同样,在液相本体中对NH 2COO -作质量守恒方程:

1R =输入项

由于进料的氨盐水中不含NH 2COO -,因而输入项只包含NH 2COO -自液膜扩散到液相本体中的量R 1。

B qc =输出项

22(1)B H O k c c V ε=--生成项

由于是连续操作,反应器处于稳态:

0=积累项

根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

得到:

212(1)0B B H O R qc k c c V ε---=

化简得:

21

2(1)B H O R c q k c V

ε=

+-

在连续操作过程中,在液相本体里NH 2COO -的浓度不随时间变化,为一常数。 同样,在液相本体中对HCO 3-作质量守恒方程:

由于进料的氨盐水中不含HCO 3-:

0=输入项

C qc =输出项

()

22

23(1)H O C NH COO Na k c c k c c V ε-+=--生成项

0=积累项

根据质量守恒:

-+=输入项输出项生成累积累项

得到:

()

22

230(1)0C H O C NH COO Na qc k c c k c c V ε-+-+--=

化简得:

22

23(1)(1)H O NH COO C Na k c c V

c q k c V

εε-+-=

+-

在连续式操作中,在液相本体里HCO 3-的浓度也不随时间变化,为一常数。

综上所述:

在分批式操作中,本反应器的模型为:

[][][]13

1133

21133

13

3232122222221222223

31111100NH NH NH A A A

NH NH A A

NH A NH A

k c k c k c D x x D D CO i i k c k c D D k c D B NH A B H O i k c D B c V H O C NH COO Na e c co e co e e e dc e

k c D co k c c a k c c k NH COO dt e t c dc HCO d c t t c δδδδ

δ

-+⋅-⋅--=---⎧⎪+=-⎪⎨⎪-⎪-==⎩=液膜中:液相本体中:满足满足00C c ⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪==⎩⎩

在连续式操作中,本反应器的模型为:

[][][]1311332113

3133213222

3

222222112222311

111(1)1(1)((1)1NH NH NH A A

A

NH NH A

A

NH A NH A

k c k c k c D x x D D CO i i k c k c D D k c D NH A i

NH COO

k c H O D H O NH COO HCO Na V e

c co e co e

e e

R e c k c D co q k c V

e

k c c V c R a V q k c δ

δδ

δ

δ

εεεε---+⋅-⋅

=-

--+=+---=+=

--液膜中:液相本体中:其中)V ⎧

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

。

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