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时间:2020-06-06 08:55  编辑:什邡教育网

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福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试

高二数学试卷

一、选择题(每小题5分,共65分;在给出的A,B,C,D 四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.函数x xe y =的单调递增区间是( ) A .]1,(--∞

B .]1,(-∞

C .),1[+∞

D .),1[+∞-

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数()f x ,如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=,所以0x =是函数

3()f x x =的极值点.以上推理中( )

A .大前提错误

B .小前提错误

C .推理形式错误

D .结论正确 3.已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示,那么函数)(x f 的图象最有可能的是( )

4.函数()ln x

f x x =

有( ) A .极小值为1e B .极大值为1

e

C .极小值为e

D .极大值为e

5.已知,15441544,833833,322322 =+=+=+

+∈=+R t a t

a t a ,,88, 则=+t a ( )

A 、70

B 、68

C 、69

D 、71

6.若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y =1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ).

A .ρ=cos θ+sin

θ, π02θ≤≤

B

.1cos +sin ρθθ=,π

04

θ≤≤

C .1cos +sin ρθθ=

,π02θ≤≤ D .ρ=cos θ+sin θ, π

04

θ≤≤

7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ).

A .

43 B .2 C .83 D

8.用数学归纳法证明*))(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=+++ 时,从n=k 到n=k+1左边需增加的代数式为( )

A . )12(2+k

B . )1(2+k

C .

1k 12++k D . 1k 3

2++k

9.设a R ∈,若函数()ax f x e x =-有小于零的极值点,则实数a 的取值范围为( )

A .01a <<

B .1a >

C .10a e <<

D .1

a e

> 10.若2

10

()+2

()d f x x f x x =⎰

,则10()d f x x ⎰=( ).

A .-1

B .

13 C .1

3

- D .1 11.设P 为曲线C :322++=x x y 上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是]4

,0[π

,

则点P 横坐标的取值范围是( )

A .]0,1[-

B .]21,1[--

C .]1,0[

D .]1,2

1[

12.函数a x x x f +-=

2

32131)(仅一个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .)61,0( B .)0,61(- C .),61()0,(+∞⋃-∞

D .),0()6

1

,(+∞⋃--∞

13.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的n 个数分别是:

1,3,5,…,2n-1;(2)从第2行起,各行中的每一个数都

等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n 行(如:第3行的

第4个数为36).问:当n=2018时,第34行的第17个数是( )

A. 201823333+⋅

B.392

C. 34233⋅

D. 38

2

二、填空题(每小题5分,共25分) 14.

=+

-⎰

-dx x x )1

9(3

3

3

2__________ ____. 1 3 5 7 9 11 ……

4 8 12 16 20 …… 12 20 28 36 …… ………………… …………… …… .

15.函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ,且)(x f 在R 上的导函数2

1

)(>

'x f ,则不等式2

1

)(+<

x x f 的解集为 .

16.射线3π

θ=

(0>ρ)与曲线θρs i n

2:1=C 的异于极点的交点为A ,与曲线2C :θ

ρ22cos 12

+=的交点为B ,则|AB|= .

17.已知命题“在等差数列{}n a 中,若(),,,*m n a a a b m n m n N ==<∈,则

n m bn am

a n m

+-=

-”,

在正项等比数列{}

n b 中,若),,(,*∈<==N n m n m b b a b n m ,用类比上述命题,则可得到

n m b += .

18.

)

0(ln )(>+=a x a x x f ,若

)

)(1,2

1

(,2121x x x x ≠∈∀,

|1

1|

|)()(|2

121x x x f x f ->-, 则正数a 的取值范围为 . 三、解答题(要求写出过程,共60分) 19. (本小题满分12分) 设函数x x

a

ax x f ln 2)(--

=. (1)若)(x f 在2=x 时有极值,求实数a 的值和)(x f 的极大值; (2)若)(x f 在定义域上是增函数,求实数a 的取值范围.

20. (本小题满分12分)

已知过点()0,1P -的直线l

的参数方程为1212

x t y ⎧=⎪⎪

⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),在以坐标原点O 为极

点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为()2

2sin cos

00a a θρθ-=>.

()Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程;

()Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ,N ,且PM

,MN ,PN 成等比数列,求a 的值.

21. (本小题满分12分)

为了提高经济效益,某食品厂进行杏仁的深加工,每公斤杏仁的成本20元,并且每公斤杏仁的加工费为t 元(t 为常数,且)52≤≤t ,设该食品厂每公斤杏仁的出厂价为x 元(4025≤≤x ),销售量q ,且(0,)x k

q k k R e

=

>∈(e 为自然对数的底)。根据市场调查,当每公斤杏仁的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.

(Ⅰ)求该工厂的每日利润y 元与每公斤杏仁的出厂价x 元的函数关系式;

(Ⅱ)若5=t ,当每公斤杏仁的出厂价x 为多少元时,该工厂的利润y 最大,并求最大值.

22.(本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和1

122n n n S a -⎛⎫

=--+ ⎪

⎝⎭

,

(n 为正整数). (Ⅰ)求1234,,,a a a a ,并猜想数列{}

n a 的通项公式(不必证明); (Ⅱ)试比较n S 与2-1

n -1

(n ≥5)的大小,并予以证明.

23.(本小题满分12分)

已知函数1ln )(--=x a x x f ,曲线)(x f y =在)0,1(处的切线经过点)0,(e .

(Ⅰ)证明:0)(≥x f ;

(Ⅱ)若当),1[+∞∈x 时,)(1x f x e x λ≥--恒成立,求λ的取值范围.

福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试卷

高二理科数学·选修2-2参考答案

一、1.D 2.A 3.A 4.B 5. D 6.C 7.C 8.A 9.B 10.C 11. B 12.C 13.C}

二、14. 29π

; 15.{x|x<1}; 16.

510

23- ; 17.

n

n m n m m

n m

b b a

-+-=; 18.),23[+∞ 19.解:(Ⅰ)∵在

时有极值,∴有

又∴, ∴

∴有 由得,

又∴由得或

由得

∴在区间

和上递增,在区间上递减

的极大值为

(Ⅱ)若在定义域上是增函数,则

在时恒成立

,

需时

恒成立,

恒成立,

,

为所求.

20.解:(Ⅰ)

22sin cos 0a θρθ-=,222sin cos 0a ρθρθ-=∴,即()220x ay a =>.

(Ⅱ)将1

212

x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2

2x ay =

,得280t a -+=,得

(

)

21212480,,

8.a t t t t a ⎧∆=--⨯>⎪⎪

+=⎨⎪=⎪⎩

①. 0a >,∴解①得23

a >

. PM ,MN ,PN 成等比数列,2

MN PM PN =∙∴,即2

1212t t t t -=,

()2

1212124t t t t t t +-=∴

,即()

2

400a -=,解得0a =或56

a =

. 23a >

,56

a =∴.

21. 解:解:(Ⅰ)设由已知得

30

30100,100k k e e

=∴= ……………………2分

∴日销量30

100x

e q e = ………………………………………………………3分

30100(20)(2540)x

e x t y x e --∴=≤≤. …………………………………6分

(Ⅱ)当5=t 时,x

e x e y )

25(10030-= ……………………………………7分

30100(26)

x

e x y e -'=

………………………………………………………8分

026y x '≥≤由得,0y '≤≥由得x 26

[][]252626y ∴在,上单调递增,在,40上单调递减. ………………10分

4max 100,26e y x ==∴时当 ………………………………………………11分

当每公斤杏仁的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为4100e 元. (12)

22.

23.解:(1)曲线)(x f y =在)0,1(处的切线为)1)(1('-=x f y ,即)1)(1(--=x a y 由题意得)1)(1(0--=e a ,解得1=a 所以1ln )(--=x x x f 从而x

x x x f 1

11)('-=-

= 因为当)1,0(∈x 时,0)('<x f ,当),1(+∞∈x 时,0)('>x f . 所以)(x f 在区间)1,0(上是减函数,区间),1(+∞上是增函数, 从而0)1()(=≥f x f . (2)

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