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时间:2020-08-11 11:38  编辑:湟中申通

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广东省深圳市石岩公学2015届高三上学期12月统测数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={2,5},则B∪(∁UA)=()

A.{5}B.{1,2,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅

2.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,且(a+i)i=b﹣2i,则a+b=()

A.1B.﹣1C.﹣2D.﹣3

3.(5分)已知α为锐角,且tan(π﹣α)+3=0,则sinα的值是()

A.B.C.D.

4.(5分)若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c与x轴的交点个数是()

A.0B.1C.2D.不确定的

5.(5分)已知命题P1:∃x0∈R,x02+x0+1<0;P2:∀x∈[1,2],x2﹣1≥0.以下命题为真命题的是()

A.¬P1∧¬P2B.P1∨¬P2C.¬P1∧P2D.P1∧P2

6.(5分)下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是()

A.B.f(x)=2﹣x﹣2xC.f(x)=﹣tanxD.

7.(5分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()

A.60B.54C.48D.24

8.(5分)已知变量x,y满足,则z=3x+y的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

9.(5分)如图中,x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p为该题的最终得分,当x1=6,x2=9,p=9.5时,x3等于()

A.10B.9C.8D.7

10.(5分)已知两个点M(﹣5,0),N(5,0),若直线上存在点P,使得|PM|﹣|PN|=6,则称该直线为“hold直线”.给出下列直线:①y=x,②y=2x+1,③y=x+1,则这三条直线中有()条“hold直线”.

A.3B.2C.1D.0

二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.(一)必做题(11-13题)

11.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(3,﹣6),且⊥,∥,则(+)•=.

12.(5分)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是.

13.(5分)观察下列等式

13=1

13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

照此规律,第6个等式可为.

(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】

14.(5分)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为.

【几何证明选讲选做题】

15.如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=9,C是圆上一点使得BC=4,∠BAC=∠APB,则AB=.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx,x∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的值域.

17.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区ABC

数量50150100

(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;

(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

18.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A1C.

(Ⅰ)求证:平面ABC1⊥平面A1C1CA;

(Ⅱ)设D是A1C1的中点,判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使DE∥平面ABC1;若存在,求三棱锥E﹣ABC1的体积.

19.(14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且a2,a3,a5成等比数列.

(1)求p,q的值;

(2)若数列{bn}满足an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前n项和Tn.

20.(14分)已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;

(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.

21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2﹣ax﹣a,x∈R,其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(﹣3,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t),求函数g(t)在区间[﹣4,﹣1]上的最小值.

广东省深圳市石岩公学2015届高三上学期12月统测数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.(5分)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={2,5},则B∪(∁UA)=()

A.{5}B.{1,2,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅

考点:补集及其运算;并集及其运算.

专题:计算题.

分析:先求出∁UA,再由集合的并运算求出B∪(∁UA).

解答:解:∵CUA={1,5}

∴B∪(∁UA)={2,5}∪{1,5}={1,2,5}.

故选B.

点评:本题考查集合的运算,解题时要结合题设条件,仔细分析,耐心求解.

2.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,且(a+i)i=b﹣2i,则a+b=()

A.1B.﹣1C.﹣2D.﹣3

考点:复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算.

专题:计算题.

分析:把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简,然后利用复数相等的条件求出a和b,则a+b可求.

解答:解:由(a+i)i=b﹣2i,

可得:﹣1+ai=b﹣2i.

∴.∴a+b=﹣3.

故选:D.

点评:本题考查复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,此题是基础题.

3.(5分)已知α为锐角,且tan(π﹣α)+3=0,则sinα的值是()

A.B.C.D.

考点:同角三角函数基本关系的运用.

专题:三角函数的求值.

分析:已知等式利用诱导公式变形,求出tanα的值,根据α为锐角,求出cosα的值,即可求出sinα的值.

解答:解:∵α为锐角,且tan(π﹣α)+3=﹣tanα+3=0,即tanα=3,

∴cosα==,

则sinα==.

故选:B.

点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

4.(5分)若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c与x轴的交点个数是()

A.0B.1C.2D.不确定的

考点:等比数列的性质.

专题:计算题.

分析:根据a,b,c成等比数列,得出b2=ac且ac>0,令ax2+bx+c=0,求出△<0,判断出方程无根,进而判断函数f(x)=ax2+bx+c与x轴无交点.

解答:解:∵a,b,c成等比数列,

∴b2=ac∴ac>0

∴△=b2﹣4ac=﹣3ac<0

∴方程ax2+bx+c=0无根,

即函数f(x)=ax2+bx+c与x轴无交点.

故选A

点评:本题主要考查了等比数列的性质,特别是等比中项的利用.属基础题.

5.(5分)已知命题P1:∃x0∈R,x02+x0+1<0;P2:∀x∈[1,2],x2﹣1≥0.以下命题为真命题的是()

A.¬P1∧¬P2B.P1∨¬P2C.¬P1∧P2D.P1∧P2

考点:复合命题的真假.

专题:简易逻辑.

分析:先判定命题命题P1与P2的真假,再确定¬p1与¬p2的真假,从而选项中正确的命题.

解答:解:∵命题P1:∃x0∈R,x02+x0+1<0是假命题,

∵x2+x+1=+>0是恒成立的;

∴¬p1是真命题;

∵P2:∀x∈[1,2],x2﹣1≥0是真命题,

∵x2﹣1≥0时,解得x≥1,或x≤﹣1,

∴对∀x∈[1,2],x2﹣1≥0成立,

∴¬p2是假命题;

∴A中¬p1∧¬p2是假命题,

B中p1∨¬p2是假命题,

C中¬p1∧p2是真命题,

D中p1∧p2是假命题;

故选:C.

点评:本题考查了复合命题的真假问题,解题时应先判定命题命题P1与P2的真假,从而确定¬p1与¬p2的真假.

6.(5分)下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是()

A.B.f(x)=2﹣x﹣2xC.f(x)=﹣tanxD.

考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.

专题:计算题;函数的性质及应用.

分析:利用奇偶函数的概念与函数单调性的概念对四个选项逐一判断即可.

解答:解:A,∵f(x)=的定义域为{x|x≤0},不关于原点对称,不是奇函数,故A错误;

B,∵f(x)=2﹣x﹣2x,∴f(﹣x)=2x﹣2﹣x=﹣(2﹣x﹣2x)=﹣f(x),∴f(x)=2﹣x﹣2x是奇函数;

C,∵奇函数y=﹣tanx在每一个区间(kπ﹣,kπ+)(k∈Z)是减函数,并不是定义域上的减函数,故C错误;

D,y=在(﹣∞,0),(0,+∞)上单调递减,并不是在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上单调递减,故D错误;

综上所述,B正确.

故选:B.

点评:本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断,考查分析运算能力,属于中档题.

7.(5分)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()

A.60B.54C.48D.24

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题;空间位置关系与距离.

分析:几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱,根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据,把数据代入棱柱的表面积公式计算.

解答:解:由三视图知:几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱,侧棱长为4,

底面三角形为直角三角形,直角边长分别为3,4,斜边长为5.

∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=(3+4+5)×4+2××3×4=48+12=60.

故选:A.

点评:本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键.

8.(5分)已知变量x,y满足,则z=3x+y的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

考点:简单线性规划.

专题:数形结合.

分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=3x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.

解答:解:作图

易知可行域为一个三角形,

其三个顶点为A(2,1),(1,0),(1,3),

验证知在点A(2,1)时取得最大值,

当直线z=3x+y过点A(2,1)时,z最大是7,

故选D.

点评:本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

9.(5分)如图中,x1,x2,x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p为该题的最终得分,当x1=6,x2=9,p=9.5时,x3等于()

A.10B.9C.8D.7

考点:选择结构.

专题:计算题;图表型.

分析:根据已知中x1=6,x2=9,p=9.5,根据已知中的框图,分类讨论条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值,最后综合讨论结果,即可得答案.

解答:解:当x1=6,x2=9时,|x1﹣x2|=3不满足|x1﹣x2|≤2,

故此时输入x3的值,并判断|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,

若满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,此时p===9.5,解得,x3=13,

这与|x3﹣x1|=7,|x3﹣x2|=4,7>4与条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|矛盾,故舍去,

若不满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,此时p=,解得,x3=10,

此时|x3﹣x1|=4,|x3﹣x2|=1,|x3﹣x1|<|x3﹣x2|不成立,符合题意,

故选A.

点评:本题考查的知识点是选择结构,是选择结构在实际中的应用问题,分类讨论是解答本题的关键.还同时考查了学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识,考查学生对赋值语句的理解和认识,考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力,考查学生的算法思想和简单的计算问题.属于基础题.

10.(5分)已知两个点M(﹣5,0),N(5,0),若直线上存在点P,使得|PM|﹣|PN|=6,则称该直线为“hold直线”.给出下列直线:①y=x,②y=2x+1,③y=x+1,则这三条直线中有()条“hold直线”.

A.3B.2C.1D.0

考点:双曲线的简单性质.

专题:计算题;新定义.

分析:满足条件的点P是以M,N为焦点的双曲线﹣=1的右支,问题转化为看所给的直线与双曲线的右支是否有交点.

解答:解:由|PM|﹣|PN|=6<|MN|可得点P是以M,N为焦点的双曲线﹣=1的右支,

换言之,点P是双曲线右支与直线的交点,即“hold直线”须满足与双曲线的右支相交,

①直线为双曲线的渐近线,故不是“hold直线”;

②直线与双曲线的右支无交点,故不是“hold直线”;

③直线与双曲线的右支有一交点,故是“hold直线”.

故选C.

点评:本题考查双曲线的性质,体现等价转化思想与数形结合思想.

二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.(一)必做题(11-13题)

11.(5分)设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(3,﹣6),且⊥,∥,则(+)•=15.

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;平行向量与共线向量;平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用.

分析:根据且⊥,∥,建立方程关系,即可求出x,y的值,然后根据数量积的坐标公式进行计算即可.

解答:解:∵向量=(x,1),=(1,y),=(3,﹣6),且⊥,∥,

∴3x﹣6=0且﹣6﹣3y=0,

即x=2,y=﹣2,

∴(+)•=•+•=3x﹣6+3﹣6y=0+3+6×2=15.

故答案为;15.

点评:本题只要考查向量的坐标公式,要求熟练掌握向量垂直和向量平行的坐标公式的应用,以及向量数量积的坐标公式,比较基础.

12.(5分)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是x﹣y+3=0.

考点:直线与圆的位置关系.

专题:直线与圆.

分析:由圆的方程求出圆心坐标,由直线垂直的条件求出直线l的斜率,代入点斜式方程再化为一般式方程.

解答:解:由题意得,圆x2+(y﹣3)2=4的圆心为(0,3),

又直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率是1,

则直线l的方程是:y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,

故答案为:x﹣y+3=0.

点评:本题考查圆的标准方程,直线垂直的条件,以及直线的点斜式方程、一般式方程.

13.(5分)观察下列等式

13=1

13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

照此规律,第6个等式可为13+23+33+43+53+63=441.

考点:归纳推理.

专题:推理和证明.

分析:可以发现等式左边是连续整数的立方和,右边是1+2+3+…+n的平方.从而写出第六个等式.

解答:解:13=1=12,

13+23=9=32,

13+23+33=36=62,

13+23+33+43=100=102,

13+23+33+43+53=152=225,

13+23+33+43+53+63=212=441.

故答案为:13+23+33+43+53+63=441.

点评:本题考查归纳推理及运用,注意总结等式的左右特点是解题的关键.

(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】

14.(5分)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为(1,).

考点:点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程.

专题:选作题;坐标系和参数方程.

分析:化参数方程为普通方程,联立即可求得交点坐标

解答:解:把(0≤θ<π)利用同角三角函数的基本关系消去参数,化为直角坐标方程为+y2=1(y≥0),

把(t∈R),消去参数t,化为直角坐标方程为y2=x

两方程联立可得x=1,y=.

∴交点坐标为(1,).

故答案为:(1,).

点评:本题考查参数方程化成普通方程,考查学生的计算能力,比较基础.

【几何证明选讲选做题】

15.如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=9,C是圆上一点使得BC=4,∠BAC=∠APB,则AB=6.

考点:圆的切线的性质定理的证明.

专题:选作题;立体几何.

分析:根据同弧所对的圆周角与弦切角相等,得到∠C=∠BAP,根据所给的两个角相等,得到两个三角形相似,根据相似三角形对应边成比例,得到比例式,代入已知的长度,求出结果.

解答:解:∵∠BAC=∠APB,

∠C=∠BAP,

∴△PAB∽△ACB,

∴AB2=PB•BC=9×4=36,

∴AB=6,

故答案为:6.

点评:本题考查圆的切线的性质的应用,考查同弧所对的圆周角等于弦切角,考查三角形相似的判断和性质,本题是一个综合题目.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx,x∈R.

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的值域.

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.

专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

分析:(Ⅰ)首先把函数通过恒等变换变形成正弦型函数,进一步求出周期.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的函数关系式,通过已知的定义域求出函数的值域.

解答:解:函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx=+1

所以:函数的周期为:T=π

(Ⅱ)由于x∈

所以:

sin

所以函数f(x)的值域为:[0,3]

点评:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变形,正弦型函数的周期,根据定义域求正弦型函数的值域.

17.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区ABC

数量50150100

(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;

(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式.

专题:概率与统计.

分析:(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;

(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.

解答:解:(Ⅰ)A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,

故抽样比k==,

故A地区抽取的商品的数量为:×50=1;

B地区抽取的商品的数量为:×150=3;

C地区抽取的商品的数量为:×100=2;

(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;

且这些事件是等可能发生的,

记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,

则A中包含=4种不同的基本事件,

故P(A)=,

即这2件商品来自相同地区的概率为.

点评:本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题.

18.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A1C.

(Ⅰ)求证:平面ABC1⊥平面A1C1CA;

(Ⅱ)设D是A1C1的中点,判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使DE∥平面ABC1;若存在,求三棱锥E﹣ABC1的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

专题:综合题;空间位置关系与距离.

分析:(Ⅰ)证明平面ABC1⊥平面A1C,只需证明A1C⊥平面ABC1;

(Ⅱ)取AA1中点F,连EF,FD,证明平面EFD∥平面ABC1,则有ED∥平面ABC1,利用等体积转换,可求三棱锥E﹣ABC1的体积.

解答:(I)证明:在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,有AA1⊥平面ABC.

∴AA1⊥AC,又AA1=AC,∴A1C⊥AC1.…(2分)

又BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面ABC1,

∵A1C⊂平面A1C1CA,

∴平面ABC1⊥平面A1C1CA.…(4分)

(II)解:取AA1中点F,连EF,FD,当E为B1B中点时,EF∥AB,DF∥AC1.

即平面EFD∥平面ABC1,则有ED∥平面ABC1.…(8分)

当E为中点时,VE﹣ABC1=VC1﹣ABE==.

点评:本小题主要考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,考查体积的计算,并且考查空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.

19.(14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且a2,a3,a5成等比数列.

(1)求p,q的值;

(2)若数列{bn}满足an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前n项和Tn.

考点:数列的求和;等差数列的性质.

专题:等差数列与等比数列.

分析:解法一:

(1)a1=S1=1+p+q,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+p,由此求出q=0,由a2,a3,a5成等比数列,得p=﹣1.

(2)an=2n﹣2,,由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn.解法二:

(1)由,得d=2,p=a1﹣1,q=0.由a2,a3,a5成等比数列,得p=﹣1.

(2)an=2n﹣2.,由,两边对x取导数得,由此能求出.

解答:(本小题满分14分)

解法一:

(1)解:当n=1时,a1=S1=1+p+q,…(1分)

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1…(2分)

=n2+pn+q﹣[(n﹣1)2+p(n﹣1)+q]

=2n﹣1+p.…(3分)

∵{an}是等差数列,

∴1+p+q=2×1﹣1+p,得q=0.…(4分)

又a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p,…(5分)

∵a2,a3,a5成等比数列,

∴,即(5+p)2=(3+p)(9+p),…(6分)

解得p=﹣1.…(7分)

(2)解:由(1)得an=2n﹣2.…(8分)

∵an+log2n=log2bn,

∴.…(9分)

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)•4n﹣2+n•4n﹣1,①…(10分)

,②…(11分)

①﹣②得==.…(13分)

∴.…(14分)

解法二:

(1)解:设等差数列{an}的公差为d,

则.…(1分)

∵,

∴,,q=0.…(4分)

∴d=2,p=a1﹣1,q=0.

∵a2,a3,a5成等比数列,

∴,…(5分)

即.

解得a1=0.…(6分)

∴p=﹣1.…(7分)

(2)解:由(1)得an=2n﹣2.…(8分)

∵an+log2n=log2bn,

∴.…(9分)

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)•4n﹣2+n•4n﹣1.…(10分)

由,…(11分)

两边对x取导数得,

x0+2x1+3x2+…+nxn﹣1=.…(12分)

令x=4,得.

∴.…(14分)

点评:本题考查实数的求法,考查数列的前n项和的求法,解题时要注意审题,注意错位相减法的合理运用.

20.(14分)已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;

(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.

考点:直线与圆的位置关系.

专题:综合题.

分析:(1)当截距不为0时,根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等,设出切线方程x+y=a,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径r,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,得到切线的方程;当截距为0时,设出切线方程为y=kx,同理列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,得到切线的方程;

(2)根据圆切线垂直于过切点的半径,得到三角形CPM为直角三角形,根据勾股定理表示出点P的轨迹方程,由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值,然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离,把P代入动点的轨迹方程,两者联立即可此时P的坐标.

解答:解:(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等,

∴当截距不为零时,设切线方程为x+y=a,

又∵圆C:(x+1)2+(y﹣2)2=2,

∴圆心C(﹣1,2)到切线的距离等于圆的半径,

即,

解得:a=﹣1或a=3,

当截距为零时,设y=kx,

同理可得或,

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或.

(2)∵切线PM与半径CM垂直,

∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2.

∴(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12.

∴2x1﹣4y1+3=0.

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0.

∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离,

∴由,可得

故所求点P的坐标为.

点评:此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,会根据条件求动点的轨迹方程,灵活运用两点间的距离公式化简求值,是一道综合题.

21.(14分)已知函数f(x)=x3+x2﹣ax﹣a,x∈R,其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(﹣3,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t),求函数g(t)在区间[﹣4,﹣1]上的最小值.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

专题:导数的综合应用.

分析:(1)求导函数,令f′(x)>0,可得函数的递增区间;令f′(x)<0,可得单调递减区间;

(2)由(1)知函数在区间(﹣3,﹣1)内单调递增,在(﹣1,0)内单调递减,从而函数在(﹣3,0)内恰有两个零点,由此可求a的取值范围;

(3)a=1时,f(x)=x3﹣x﹣1,由(1)知,函数在(﹣4,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,再进行分类讨论,得到函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)以及最小值m(t),从而可得g(t)在[﹣4,﹣1]上的最小值.

解答:解:(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x﹣a),

令f′(x)=0,可得x1=﹣1,x2=a(a>0)

令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>a;令f′(x)<0,可得﹣1<x<a

故函数的递增区间为(﹣∞,﹣1),(a,+∞),单调递减区间为(﹣1,a);

(2)由(1)知函数在区间(﹣3,﹣1)内单调递增,在(﹣1,0)内单调递减,

若函数在(﹣3,0)内恰有两个零点,

∴,解得0<a<,

∴a的取值范围为(0,);

(3)a=1时,f(x)=x3﹣x﹣1,由(1)知,函数在(﹣4,﹣1)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增

①当t=﹣4时,函数在[t,t+3]上单调递增,

则函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(﹣1)=﹣,最小值为m(t)=f(﹣4)=﹣,

则g(t)=M(t)﹣m(t)=18;

②当t∈(﹣4,﹣2]时,t+3∈(﹣1,1],

∴﹣1∈[t,t+3],f(x)在[t,﹣1]上单调递增,在[﹣1,t+3]上单调递减

因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(﹣1)=﹣,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者

由f(t+3)﹣f(t)=3(t+1)(t+2)知,

当t∈(﹣4,﹣2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),

所以g(t)=f(﹣1)﹣f(t)

而f(t)在(﹣4,﹣2]上单调递减,因此f(t)≤f(﹣2)=﹣,所以g(t)在(﹣4,﹣2]上的最小值为g(﹣2)=;

③当t∈[﹣2,﹣1]时,t+3∈[1,2],﹣1,1∈[t,t+3],最大值为f(﹣1)与f(t+3)较大者,最小值为f(1)与f(t)较小者.

由f(x)在[﹣2,﹣1],[1,2]上单调递增,有

f(﹣2)≤f(t)≤f(﹣1),f(1)≤f(t+3)≤f(2)

∵f(1)=f(﹣2)=﹣,f(﹣1)=f(2)=﹣,

∴M(t)=f(﹣1)=﹣,m(t)=f(1)=﹣,

∴g(t)=M(t)﹣m(t)=,

综上,函数g(t)在区间[﹣4,﹣1]上的最小值为.

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,正确求导与分类讨论是解题的关键.

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