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时间:2020-07-11 12:01  编辑:云县菜市场

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第十三讲 与角平分线有关的问题

(一)利用角平分线条件直接找出(或构造)全等三角形。

【例1】.如图,△ABC 中,∠ACB ﹦90º,CD ⊥AB 于D ,AO 平分∠BAC ,交CD 于O,OE ∥BC 交AB 于E ,求证:AC=AE.

(二)利用“角平分线+垂直”构造全等三角形

【例2】如图,△AOB 中,OA=OB ,∠AOB=90 º,BD 平分∠ABO 交OA 于D ,AE ⊥BD 于E ,求证:BD=2AE 。

(三) 利用角平线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形

【例3】 如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ,求证:AC=AE+CD .

O A B E C

D 12

A B E M F

D 12P M N A B

E C

H D (四) 已知角平分线或要证明角平分线时可考虑作垂线构造直角三角形全等.

【例4】.如图,点P 为△AEF 外一点,PA 平分∠EAF,PD ⊥EF 于D,且DE=DF,PB ⊥AE 于B. 求证:AF-AB=BE.

【例5】如图,CA=CB ,CD=CE ,∠ACB=∠DCE ,AD ,BE 交于点H ,连CH

(1)求证:△ACD ≌△BCE ;

(2)求证CH 平分∠AHE 。

(五)角平分线中的一个常见基本图形和基本结论

【例6】.如图,在四边形OACB 中,CM ⊥OA 于M ,现有:①∠1=∠2;②CA=CB ; ③∠3+∠4=180°;④OA+OB=20M ,若把其中任两个作为条件,都可得出另两个结论

(1)已知:①②,求证③④ (3)已知:①④,求证②③

(2)已知:①③,求证②④ (4)已知:②③,求证①④

4312A B

C O M 4312A B C O M

【课堂练习】

1、如图1,BC>AB,BD平分∠ABC,且∠A+∠C=1800,求证:AD=DC.

2、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证:AB=AC+CD.

3、如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F。

求证:

1

()

2

BE AC AB

=-

4、如图,BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线.求证:P点在∠BAC的平分线上.

5、如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.求证:①AM平分∠DAB,

②AD=AB+CD.

6、已知AD为△ABC的中线,∠1=∠2,∠3=∠4,试判断BE+CF与EF的大小关系?

7、如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,∠1=∠2,CE垂直于BD的延长线于

E.求证:BD=2CE.

8、如下图,AD是∠BAC的平分线,DE垂直AB于点E,DF垂直AC于点F,且BD=DC.求证:BE=CF.

9、如图,AD是∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB-AC>P

B-PC.

10、如图,已知△ABC中,∠ACB=90度,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,交

BC的延长线于F,求证:DF=AD

11、如图,已知ABC

△的周长是21,OB OC

,分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC

于D,且OD=3,△ABC的面积是___________。

12、如图,EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线,交点是Q.BP、CP分别是∠MBC 和∠NBC的平分线,交点是P,F、C在AN上,B、E在AM上,如果∠Q=68 ,求∠P 的度数。

。

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